algebra

Introducci´n
o
“Saber es poder
comprender es tolerar”
La idea que me motiva a escribir estas notas esta sustentada en la firme creencia que, “una
condici´n necesaria y suficiente para que en alg´n instante se produzca aprendizaje de algo es
o
u
que, la intersecci´n entre los deseos de ense˜ar del que ense˜a, y los deseos de aprender del que
o
n
n
aprende, sea no vac´
ıa.”
Lo anteriores con seguridad una muy dif´ tarea, no obstante poseo la esperanza que estas
ıcil
notas ayudar´n en parte, a generar la motivaci´n en los actores para que ingresen a esa ”ina
o
tersecci´n.” Por esto espero que con estos apuntes se consiga al menos alguno de los siguientes
o
objetivos.
´
Dar informaci´n introductoria y b´sica a los estudiantes de un primer curso de Algebra.
o
a
Servirde hilo conductor para que los estudiantes recorran las primeras ideas algebraicas
hasta llegar a las bases del algebra Lineal, y puedan posteriormente reflexionar, respecto de las
ilimitadas aplicaciones que esta disciplina posee.
Generar un ambiente de di´logo permanente, entre el Profesor y el Estudiante del cual se
a
concluya al menos que, “lo abstracto deja de serlo cuando se hace tangibleen la mente, y se
plasma a trav´s de la mano.”
e
Motivar al estudiante a profundizar d´ a d´ cada uno de los t´picos discutidos en clases,
ıa
ıa,
o
usando la bibliograf´ de apoyo sugerida por su profesor, para que se concreten y conecten la
ıa
teor´ y la pr´ctica.
ıa
a
Motivar al profesor, para que complemente estas notas, d´ndoles la contundencia y versatila
idad necesaria paramantener vivo en el estudiante su inter´s por la asignatura.
e
Estas notas est´n distribuidas en dos tomos, en el primero de ellos se hace ´nfasis en estruca
e
turas algebraicas y en el segundo abordamos definitivamente temas de algebra lineal y algunas
´
de sus aplicaciones m´s frecuentes.
a
Deseo enfatizar que desde hoy estas notas estar´n en constante revisi´n con el unico objetivo
a
o
´de mejorar y as´ llegar a ser alguna vez, un razonable material de apoyo, para la ense˜anza y
ı
n
aprendizaje de esta disciplina.
Este primer trabajo se realiz´ en el marco del proyecto de docencia “Construcci´n de un
o
o
´
libro de Algebra para el primer a˜ o de Ingenier´ Civil ” con el apoyo y financiamiento
n
ıa
de la Vicerrector´ de Docencia y Extensi´n.
ıa
o
Finalmente deboagradecer el inestimable trabajo de la Profesora Gabriela Pe˜ailillo, quien
n
con esmero y dedicaci´n corrigi´ y adem´s propuso ideas en la construcci´n de estas notas.
o
o
a
o

Ricardo Santander Baeza

CAPITULO 1

Preliminares sobre Sistemas de Ecuaciones.
1. Objetivos
(1) Que el Estudiante este en condiciones de generalizar las t´cnicas para resolver sistemas
e
de ecuacionesdesarrolladas en sus estudios de Ensa˜anza Media.
n
1.1. Motivaci´n.
o
(1) Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones y dos inc´gnitas:
o
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2

(1)

(2) El sistema ( 1) puede ser escrito en forma matricial como sigue:
a11 a12
a21 a22

x1
x2

A

(2)

X

=

b1
b2
B

(3) Probablemente una de las primeras cuestiones que observamos esque un sistema como
( 1) o como ( 2), no tienen porque tener dos ecuaciones y tampoco dos inc´gnitas,
o
es decir podemos tener en un arreglo como n ecuaciones y m ”inc´gnitas”. As´ que
o
ı
podemos hacer nuestra primera ”definici´n dupla”
o
Definici´n 1.1.1.
o
Llamaremos Sistema Lineal de n-ecuaciones y m-inc´gnitas a una expresi´n del tipo:
o
o

(3)

a11 x1
a21 x1
.
.
.

+ a12 x2+ a22 x2
.
.
+
.

+ ...
+ ...
.
+ .
.

an1 x1 + an2 x2 + . . .

+ a1m xm
+ a2m xm
.
.
+
.

= b1
= b2
.
= .
.

+ anm xm = bn

Equivalentemente llamaremos notaci´n matricial de ( 3) a la ecuaci´n matricial:
o
o

(4)







a11
a21
.
.
.

a12
a22
.
.
.

...
...
.
.
.

a1m
a2m
.
.
.

an1 an2 . . .

anm

A




...