Algebra

INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN

Esta unidad lleva como objetivo o finalidad que sus lectores conozcan el álgebra booleana que es una estructura matemática con dos operaciones binarias y una unitaria que tiene características similares al algebra de números reales, pero que difiere en algunos otros aspectos. En muchos de los casos el dominio consiste en dos valores cero y uno (falso y verdadero).Para mayor facilidad en su manejo las operaciones se representan por:
+ y *, el operador unitario se puede representar mediante una raya superior a’.

ALGEBRA BOOLEANA
Sistema matemático de ductivo Puede ser definida por un conjunto de elementos u, n conjunto de operadores, Un número de axiomas o postulados.
Un conjunto de elementos es
Una colección de objetos que tienen una propiedadcomún. Si S es un
Conjunto y x y y son objetos ciertos, entonces ¡€S denota que r es un
Miembro del conjunto S y y G S denota que y no es un elemento de S. Un
Conjunto con un número finito de elementos se representa por medio de
Llaves: A: 11, 2, 3, 4f, es decir Idos elementos del conjunto A son los números
l, 2, 3 y 4. Un operador binario definido en un conjunto S de elementos,
Es una regla queasigna a cada par de elementos de S un elemento
Único de S. Por ejemplo considéresela relaciona *b: c. Se dice que * es
Un operador binario si éste especifica una regla para encontrar c de un
Par (o, b) y también si a, b, ceS. Por otra parte, * no es un operador binario
Si a, b e S mientras que la regla encuentre que c G S.
1. Conjunto cerrado. Un conjunto S es cerrado con respecto a unOperador binario, si para cada par de elementos de S, el operador
Binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.
El conjunto de los números naturales N: I 1, 2, B, 4, l, po.
Ejemplo, es cerrado con respecto al operador binario (+) por las
Reglas de la suma aritmética ya que por cada a, b e N se obtiene
Una ce N única por la operación a +b: c. El conjunto de los númerosNaturales no es cerrado con respecto al operador binario
Menos (-) por las reglas de la sustracción aritmética ya que
2 - 3: - t y 2, 8 € N mientras q u e (- l) € N.
2. Ley a sociatiua. Se dice que un operador binario * en un conjunto
S es asociativo si:
(X*Y)+z: ¡*(Y*z) Para toda x,Y, z €S
3. Ley conmutativo. Se dice que un operador binario * en un conjunto
S es conmutativo si:
x*y : y*x paratoda x,y € S
4. Elemento de identidad. Se dice que un conjunto S tiene un elemento
De identidad con respecto a la operación binaria * en S
Si existe un elemento e € S con la propiedad:
e*x: x*e: x paratoda x € S
Ejemplo: El elemento 0 es un elemento de identidad con respecto
A la operación* en el conjunto de enteros I: l, -3, -2, -7,
0, 1, 2,3, . . .1 Ya que:
x*0:0+x:xParatoda x € I
Elconjunto de números naturales N no tiene elemento de identidad
Ya que el 0 es excluido del mismo.
5. Inuerso. Se dice que un conjunto S, que tiene un elemento de
Identidad e con respecto a un operador binario *, tiene un inverso
Si para cada ¡€ S existe un elemento y C S tal que
x * ! : €
ffimplo: En el conjunto de enteros I con e: 0, el inverso del elemento
o es (-o) Ya que o+ ( - o ) : 0 .
6.Ley distributiva. Si * y. son dos operadoresb inarios en un con-
¡unto S, se dice Que * es distributivo con respecto a ' si:
x * ( " y 'z ) : ( x * , ¡ ' )(' x * z )
Un ejemplo de una estructura algebraica es un campo. Un campo es
Un conjunto de elementos agrupados con dos operadores binarios, cada
Uno de los cuales tiene las propiedades 1 a 5 que se combinan para dar Ia
Propiedad 6. Elconjunto de números reales conjuntamente con los operadores
Binarios + y. forman el campo de los números reales. El campo
De los números reales es la base de la aritmética y el álgebra ordinaria.
Los operadores y postulados tienen los siguientes significados:
El operador binario * define la suma.
La identidad aditiva es 0.
El inverso aditivo define la sustracción.
El operador binario....