Algebra

1. Sea para cada a, b ∈ R, el endomorfismo f de un espacio vectorial tridimensional V que respecto de una base suya B = {v1 , v2 , v3 } verifica: • f (v1 +v3 ) = a(v1 + v3 ) • v2 ∈ Ker(f − aiV ) • f (v2 − v3 ) = v2 − bv3 En estas condiciones, se pide, en funci´n de los valores a y b: o (a) Obtener una base deKer(f ) e Im(f ) y discutir si se trata de un isomorfismo. (b) Determinar los subespacios suma e intersecci´n de los dos subespacios anteriores. o (c)Calcular, cuando sea posible, la antiimagen del vector (1, 1, 1)B . (d) Calcular la imagen del subespacio generado por sistema de vectores {v1 + v2 , v2 + v3 } (e)Estudiar cu´ndo es diagonalizable dicho endomorfismo. a (f) Obtener, cuando no sea diagonalizable, la matriz de Jordan. (g) Suponiendo que la matriz delendomorfismo coincide con la matriz de Gram de un producto escalar definido en V , estudiar cu´ndo la base B es ortonormal. a 2. Real´ ıcese un estudio sobre losaspectos m´s relevantes de la Geometr´ en espacios afines y en espacios a ıa eucl´ ıdeos, y sus aplicaciones en la Ingenier´ ıa. 3. Real´ ıcese un estudiosobre las ecuaciones en diferencias, analizando su clasificaci´n, el c´lculo de sus o a soluciones y su utilidad para generar modelos de las Ciencias y laIngenier´ ıa.

Indicaci´n: Los c´lculos correspondientes al problema deber´n realizarse usando el programa de pr´cticas o a a a Mathematica. Los ejercicios 2y 3 deber´n presentarse de acuerdo a las pautas establecidas para elaborar estos a estudios. Fecha l´ ımite de presentaci´n: 09 de enero de 2012. o