Algebra

1. Desarrollo del trabajo.

* Considérese el endomorfismo f de R3 que respecto de la base B=v1,v2,v3 verifica :
fv1=av1+4v2+2v3fv1-2v3=av1v2 es autovector asociado al autovalor 1-b
a)Obténgase la matriz del endomorfismo f.
b) Discútase en qué casos es f diagonalizable en función de los parámetros a,b ϵ R.
c) Calcúlese la matriz diagonal y los subespacios propios en todos loscasos en que f sea diagonalizable.
d) Hállese la matriz de paso de la matriz inicial a la diagonal, en los casos en que el endomorfismo sea diagonalizable.

Resolución del ejercicio:

a)De la definición obtenemos:

fv1=av1+4v2+2v3=(a,4,2)B

fv1-2v3=av1; fv1-2fv3=av1; -2fv3=av1-fv1; fv3=av1-fv1-2; fv3=av1-av1-4v2-2v3-2= =-4v2-2v3-2=2v2+v3==(0,2,1)Bfv2=1-bv2=(0,1-b,0)B

Y la matriz del endomorfismo es:
A=a0041-b2201
b) Calculamos los valores propios:

pλ=A-λI=a-λ0041-b-λ2201-λ=a-λ1-b-λ1-λ
a-λ1-b-λ1-λ=0⟶valores propiosλ=aλ=1-bλ=1

Hay 8 casosposibles, realizamos la discusión:

Caso 1. a=0, b=0⟹λ=1 triple.

dimVλ=1=3-rangoA-I=3-rango000422200=3-2=1
1≠mult→No diagonalizable.
Caso 2. a=1, b≠0λ=1 Doble λ=1-b Simple1≤dimVλ=1-b≤mult=1→dimVλ=1-b=1=mult
dimVλ=1=3-rango0004b2200=3-2=1 ∀b∈ R
1≠mult→No diagonalizable.

Caso 3. a≠1,b=0λ=1 Dobleλ=a Simple

1≤dimVλ=a≤mult=1→dimVλ=a=1=mult
dimVλ=1=3-rangoa-100402200=3-2=1 ∀a≠11≠mult→No diagonalizable.

Caso 4. a=0,b=1λ=0 Dobleλ=1 Simple

1≤dimVλ=1≤mult=1→dimVλ=1=1=multdimVλ=0=3-rangoA=3-rango000412201=3-1=2=mult →

→Diagonalizable

Caso 5. a=0,b=0λ=0 Simpleλ=1 Doble1≤dimVλ=0≤mult=1→dimVλ=0=1=mult

dimVλ=1=3-rangoA-I=3-rango-100402200=3-2=1≠mult
1≠mult→No diagonalizable.

Caso6. a=1,b=1 λ=0 Simpleλ=1 Doble

1≤dimVλ=0≤mult=1→dimVλ=0=1=multdimVλ=1=3-rangoA-I=3-rango0004-12200=3-2=1≠mult
1≠mult→No diagonalizable.

Caso 7. a=-n, b=n+1λ=1 Simpleλ=-n Doble

1≤dimVλ=1≤mult=1→dimVλ=1=1=mult
dimVλ=-n=3-rangoA+nI=3-rango000402201+n→Si...