Algebra

Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Eva Ascarza-Mondrag´n o Helio Catal´n-Mogorr´n a o Manuel Vega-Gordillo

´ Indice
1. Definici´n o 2. Soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales o 2.1. Tipos de sistemas ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Aplicaci´n lineal asociada a un sistema de ecuaciones lineales o 4. Sistemas equivalentes 5. Discusi´n de un sistema deecuaciones. Teorema de Rouch´-Frobenius o e 5.1. Teorema de Rouch´-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 6. Resoluci´n de un sistema de ecuaciones lineales o 6.1. Sistemas Compatibles Determinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 5 6 7 8 8 8 8

6.1.2. M´todo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 e 6.1.3. M´todo de triangularizaci´n de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 e o 6.2. Sistema compatible indeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

7. Sistemas de ecuaciones lineales homog´neas e

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2

1.

Definici´n o
Consideremos un sistema en k con m ecuaciones y n inc´gnitas x1 , x2 ,..., xn , de la oforma:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ... ... ... . . .

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm cuya expresi´n matricial es o   a11 a12   a21 a22    ... ...   am1 am2

 ... a1n    ... a2n     ... ...     ... amn





 b1   b2    .    bm

x1     x2     = .       xn

y que, por lo tanto,podemos expresar en la siguiente forma reducida A · X = B. Este sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales. Diremos que A es la matriz asociada al sistema; X es la matriz n × 1 de inc´gnitas y B es la matriz m × 1 de los o coeficientes o t´rminos independientes. En el caso particular de que la matriz B sea igual e a la matriz nula, esto es, B = 0, entonces diremos que el sistema AX = B esun sistema homog´neo. Los n´meros aij , donde 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n, se denominan coeficientes e u del sistema, mientras que los n´meros bi , 1 ≤ i ≤ m, son los t´rminos independientes del u e sistema de ecuaciones. Cuando nos enfrentamos a un sistema de ecuaciones lineales podemos o bien resolverlo o bien discutirlo. Resolver un sistema es demostrar todas sus soluciones. Discutir un sistema esanalizar si posee ninguna, una o varias soluciones. 3

2.

Soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales o
Una soluci´n de un sistema de m ecuaciones con n inc´gnitas es una n-upla de o o

n´meros (r1 , r2 , ..., rn ), tales que cuando se reemplaza x1 por r1 , x2 por r2 , etc´tera, se u e satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Esto es, de una matriz columna   λ  1     λ2      .       .         .    λn diremos que es la soluci´n del sistema AX = B si verifica o    b λ1   1          a11 a12 ... a1n   λ2   b2      a21 a22 ... a2n   .   .       =  ...  .   . ... ... ...             am1 am2 ... amn  .   .    λn bm Si la matriz columna                es soluci´n del sistema severificar´ que o a x1 = λ1 , x2 = λ2 ,..., xn = λn . Por lo tanto, vamos a intentar resolver el sistema AX = B 4 λ1 λ2 . . . λn               

        .      

es decir, estudiaremos las condiciones que debe cumplir para que admita alguna soluci´n o y analizaremos el conjunto de las posibles soluciones.

2.1.

Tipos de sistemas ecuaciones lineales

Aludiendoal n´mero de soluciones, los sistemas se clasifican en : u (i) Ninguna soluci´n: sistemas incompatibles. o (ii) Alguna soluci´n: sistemas compatibles. o (ii.a) Una soluci´n: determinados. o (ii.b) Varias soluciones: indeterminado.

3.

Aplicaci´n lineal asociada a un sistema de ecuao ciones lineales
Dado el sistema de m ecuaciones y n inc´gnitas o AX = B consideremos la aplicaci´n lineal f :...