Algebra

APROPIEDAD
||a+b||≤ ||a|| +||b||
Ejemplo:
1.- Calculamos la izquierda
|(0,1) + (3,2)| = |(3,3)| = √(3²+3²) = √18 = 4,24
2.- Calculamos la derecha
|a| + |b| = √(0²+1²) + √(3²+2²) = 1 + √13 =1 + 3,61 = 4,61
3.- Efectivamente se cumple la desigualdad, ya que: 4,24 ≤ 4,61
Introducción
Recordando que en R2 ⟨x,y⟩ =∥x∥∥y∥ cos(θ)|⟨x,y⟩|≤∥x∥∥y∥

La misma relación se mantiene para espacios de producto interno.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Para x, y en un espacio de producto interno
|⟨x,y⟩|≤∥x∥∥y∥
que mantiene la igualdad si y solo six y y son linealmente dependientes, es decir x=αy para un escalar α.

Espacios vectoriales normados
El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguienteversión de la desigualdad triangular:
En todo espacio vectorial normado |
Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.
En elcaso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:
Para cualquiera dos números a y b, |
cuyademostración es:
Demostración
(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

Sumando ambas inecuaciones:

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto siy solo si en la línea de arriba queda:

Desigualdad triangular para un espacio n-dimensional
Está dada por la expresión:

donde m y n son números naturales, y xi números reales.
DemostraciónAhora vamos a demostrar que la expresión anterior es cierta para cualquier n natural utilizando el método de Inducción matemática. ( Supondremos que para n=2 ya está demostrado en el inicio delartículo)
1) Para n=1:
(si bien son iguales, es cierto que un número es menor o igual a sí mismo)
2) Ahora asumimos que se cumple para n=k, con k un número natural mayor que uno.

* y...