Algebra
Prof. Rosa Eugenia Trumper M.
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Variables y Expresiones Algebraicas La letra x usada en ecuaciones tales como 2 x + 3 = 11 es una variable. En general, una variable es un símbolo usado para representar elementos no especificados de un conjunto . Este conjunto se llama el dominio de definición de la variable. Una constante es un símbolo que nombra exactamente unobjeto. El símbolo “7” es una constante, ya que siempre designa el número 7. Una expresión algebraica es una combinación de variables, constantes, signos aritméticos y símbolos de agrupaciones. Por ejemplo :
3 + 22 5⋅7−1 3(4 − 7) + 2(5 − 1)
FACTORIZACION Utilizamos la propiedad distributiva para desarrollar expresiones algebraicas algunas veces necesitamos invertir este proceso (utilizando denuevo la propiedad distributiva). Ejemplos : Factorice
4 2
A) 3 x 2 − 6 x = x( x − 6)
B) 8 x y + 6 x 3 y 3 − 2 y 4 = 2 x 2 y 2 ( 4 x 3 + 3 x 2 y − y 2 ) Algunos productos especiales : Hay ciertos tipos de productos que se presentan muy a menudo y son útiles en las factorizaciones , tales como : 1.
x + 2y
4( x + 2)
5[x − {2 x − (3x + 1)}]
son expresiones algebraicas.
Dos o másexpresiones algebraicas, cada una tomada como una entidad independiente, y unidas por un signo “+” o un signo “ – “, son 3. llamadas términos.
5.
( x + y )( x − y ) = x 2 − y 2
(x − y)2 = x 2 − 2xy + y 2
2. 4. 6. 8.
3 3
(x + y)2 = x 2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y3
( x − y) 3
2
= x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3
2
( x + y + z) 2
2
= x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2xz + 2 yz
Cada término incluye el signo que la precede. Dos o más expresiones algebraicas unidas por multiplicación , son llamadas factores. Por7. ejemplo :
9.
Ter min o Tér min o
( x + y )( x − xy + y ) = x + y ( x + b)( x + c) = x 2 + (b + c ) x + bc
( x − y )( x + xy + y 2 ) = x 3 − y 3
−5(2x + 3) + (7x + 8)(3x − 5) tiene dos términos. factores Ejemplos : 1) La expresión 7 xzcontiene un término y tres factores : 7, x, z
Ter min o Ter min o
Ejemplos :
3 3 3 3 2 2 1. a − 8b = a − (2b) = (a − 2b)(a + 2ab + 4b )
factores
2. x 2 + 10 x + 16 = ( x + 8)( x + 2)
4 4 2 2 2 2 2
;
2
8 + 2 = 10
2 2
; 8 ⋅ 2 = 16
3. x − y = ((x ) − (y ) ) = (x − y )(x + y ) = (x − y)(x + y)(x2 + y2 ) Ejercicios 1.6.5 - 30 : 15 =
(1 − x)(x + 1) 2) factores +
5z ↑ factor← factor
2.-
-3a - 2(a – 2b) + 3 b =
3.-
− 3b(a + 2) + 6b = − ab
Si x = -5 ¿Cuál es el valor de la expresión x 2 + 5x + 5 ?
Evaluar una expresión algebraica para valores particulares de las variaciones significa reemplazar cada variable por un valor dado y calcular el valor 7.resultante. Ejemplos : 1) Evaluar la expresión
6 − [5 − 4(3 − 9) : 6 − 3] =
Si 15a = 8 , entonces
28.2
(x + y + 3)(x + y + 3) =
10.Si x ≠ 0 , entonces
2x + 3 para x = 2 7 2⋅2 + 3 4 + 3 Reemplazando x por 2 se obtiene = =1 7 7 ( x + y )( y 2 − 1) = (1 + 2)(4 − 1) = 3 ⋅ 3 = 9
9.12.13.-
(15a
+1 =
)
2
x2 + x2 + x2 ? 6x
Si se resta 3x 3 + 6x de la suma entre 8x 2 + 1 y − 5x 2 + 6x − 3 , el resultado es : ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera? A) x 3 − 8 = (x − 2) 2 B) x 3 + 8 = ( x + 2) 3 C) x 3 − 8 = ( x 2 + 4)( x − 2) D) x 3 + 8 = ( x + 2)( x 2 − 2x + 4) E) x 3 − 8 = ( x − 2)( x 2 + 4x + 4)
z = −3
2) Evaluar la expresión ( x + y )( y 2 − 1) para x = 1 e y = 2 NOTAS : 1) 14.15.16.17.-
Evalúe la expresión − z − x ( y − xz ) si x = −1 y y = −2
− (a + b) = − a − b , esto significa que al eliminar un paréntesis se debe cambiar el signo decada término encerrado. Ejemplo : − ( 2 x − 5 y − 3z ) = −2 x + 5 y + 3 =
Esta propiedad también es válida para otros símbolos de agrupamiento, tales como los corchetes
[ ] y las llaves { } .
1 1 y (a − b ) = , a 2 − b2 = ? 4 2 Si ( a + b ) 2 = 52 ∧ ab = 6 , entonces a 2 + b 2 = El trinomio x 2 + 2 x − 63 es divisible exactamente por
Si ( a + b) = A) x – 9 B) x + 7 C) x – 16 D) x – 3 E) x +...
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