Algebra

Algebra Lineal
Descripción General
Algebra Lineal es un conjunto de programas para la calculadora Casio Classpad orientados al tratamiento de bases de espacios vectoriales reales de dimensión finita. Implementa las principales operaciones que se pueden realizar con dichas bases: Imagen y Núcleo de una aplicación lineal, Unión e Intersección de bases, Ortogonalización de Gram-Schmidt y Completaruna base así como encontrar una base del espacio vectorial Perpendicular. Todas estas operaciones se dan con gran frecuencia en los ejercicios que los alumnos de las carreras técnicas (física, química, matemáticas, arquitecturas, ingenierías...) tienen que realizar en el transcurso de la asignatura “Algebra Lineal” (común a todas ellas). Si bien Algebra Lineal está pensado como un paquete deprogramas relacionados, todos ellos han sido programados de manera independiente, de manera que ninguno necesita de ningún otro para funcionar pudiendo así instalar solamente los programas que prefiera el usuario. Están pendientes de realización programas que Diagonalicen una matriz (o en su defecto su Forma Reducida de Jordan) así como los correspondientes Cambios de Base asociados.

Descripciónde los programas Imagen
Dada una matriz A (n filas, m columnas) correspondiente a una aplicación lineal y=Ax (de Rm en Rn) expresada en las bases canónicas, Imagen(A) proporciona una base del espacio vectorial imagen (que es un subespacio de Rn) en forma de matriz S (n filas, rank(A) columnas) cuyas columnas forman la citada base. Ejemplos: 1 0 3 1 A= 0 0 0 ⇒ Imagen  A= 0 0 0 0 0

1 1 5 1 1 A=0 1 7 ⇒ Imagen A= 0 1 0 0 0 0 0 A= 0 0 ⇒ Imagen A= 0 0 0 0

   
 



 


Núcleo
Dada una matriz A (n filas, m columnas) correspondiente a una aplicación lineal y=Ax (de Rm en Rn) expresada en las bases canónicas, Nucleo(A) proporciona una base del espacio vectorial nucleo (que es un subespacio de Rm) en forma de matriz S (m filas, n-rank(A) columnas) cuyas columnasforman la citada base. Ejemplos: 1 0 3 3 0 A= 0 0 0 ⇒ Nucleo  A= 0 −1 0 0 0 −1 0 1 1 5 −2 A= 0 1 7 ⇒ Nucleo  A= 7 0 0 0 −1

   
 

  


A= 0 0 ⇒ Nucleo  A= −1 0 0 0 0 −1



Unión
Dada una matriz A (n filas, m columnas) y una matríz B (n filas, p columnas) correspondientes a unas aplicaciónes lineales y=Ax (de Rm en Rn) y y=Bx (de Rp en Rn) respectivamente, Union(A,B)proporciona una base de la unión de los espacios vectoriales imagen de ambas aplicaciones (que es un subespacio de Rn) en forma de matriz S (n filas, rank(A|B) columnas) cuyas columnas forman la citada base. Ejemplos:

1 0 0 0 0 1 0 0 A= 0 0 0 ; B= 0 1 ⇒Union  A , B= 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 A= 0 ; B= 0 ⇒ Union A , B= 0 0 0 0

      
 

1 0 3 1 3 A= 0 ; B= 0 0 ⇒ Union A , B= 00 0 0 5 0 5

   


Intersección
Dada una matriz A (n filas, m columnas) y una matríz B (n filas, p columnas) correspondientes a unas aplicaciónes lineales y=Ax (de Rm en Rn) y y=Bx (de Rp en Rn) respectivamente, Intersec(A,B) proporciona una base de la intersección de los espacios vectoriales imagen de ambas aplicaciones (que es un subespacio de Rn) en forma de matriz S (n filas,rank(A)+rank(B)-rank(A| B) columnas) cuyas columnas forman la citada base. Ejemplos: 1 5 3 5 A= 0 ; B= 0 0 ⇒ Intersec A , B= 0 0 0 5 0 1 0 0 0 A= 0 0 ; B= 1 ⇒ Intersec A , B= 0 0 1 0 0

     

 
 

A= 1 2 ; B= 5 ⇒ Intersec A , B= 5 3 4 10 10

   

Completa
Dada una matriz A (n filas, m columnas) correspondiente a una aplicación lineal y=Ax (de Rm en Rn) expresada enlas bases canónicas, Completa(A) proporciona una base del espacio vectorial Rn cuyas primeras rank(A) columnas forman una base del subespacio vectorial imagen de la aplicación. La salida se presenta en forma de matriz S (n filas, rank(A) columnas) cuyas columnas forman la citada base. Ejemplos: 3 0 6 3 0 6 A= 0 5 7 ⇒ Completa  A= 0 5 7 0 0 7 0 0 7 0 1 0 0 A= 0 ⇒ Completa  A= 0 1 0 0 0 0 1...