Algebra

ÁLGEBRA
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ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
CONCEPTO
Son operaciones definidas dentro de un conjunto, con resultado único. Las principales
estructuras son el grupo y el cuerpo.
La ley de composición interna es una operación definida en un conjunto de números no
vacío A = a1, a2,..., an , con resultado único perteneciente a ese conjunto. Esto se simboliza
como
a A, b A: a * b = c / c A
Algunosaxiomas de estas leyes son:
a) Conmutatividad: a * b = b * a
b) Asociatividad: a * (b * c) = (a * b) * c
c) Distributividad a derecha: a * (b º c) = (a * b) º (a * c)
d) Distributividad a izquierda: (a º b) * c = (a * c) º (b * c)
Elementos notables:
e) Elemento neutro (e): a * e = e * a = a
f) Elemento simétrico (a’): a * a’ = a’ * a = e
g) Elemento absorbente: (m): a * m = m * a = m
Sianalizamos las propiedades que, a su vez, cumplen los elementos notables, tenemos que:
El simétrico del simétrico de un elemento es ese elemento:
a A: (a’)’ = a.
Demostración: si (a’)’ = a debe cumplirse que (a’)’ * a’ = e. Luego,
a’ * a = e
 (a’)’ * a’ * a = e * a
(a’)’ * e = a
 (a’)’ = a
El simétrico de una operación es igual a la operación de los simétricos
en orden cambiado: a A, b A:(a * b)’ = b’ * a’.
Demostración: (a * b)’ es el simétrico de (a * b), entonces, debe cumplirse
que (a * b)’ * (a * b) = e
 (a * b)’ * a * b = e
 (a * b)’ * a * b * b’ = e * b’
 (a * b)’ * a * e = b’
 (a * b)’ * a * a’ = b’ * a’
 (a * b)’ * e = b’ * a’
 (a * b)’ = b’ * a’
Elemento simétrico único: Si b y c son simétricos de a, debe cumplirse que
a * b = e y que a * c = e. Como e =e, entonces a * b = a * c
 a’ * a * b = a’ * a * c  e * b = e * c  b = c
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Elemento neutro único: Si e y f son simétricos de a, debe cumplirse que
a * e = a y que a * f = a. Como a = a a * e = a * f  a’ * a * e = a’ * a * f 
e * e = e * f  e = f.
GRUPOS
Un grupo es una estructura algebraica compuesta por un conjunto de números “A” y una
operación *, y se denota (A, *).Para ello, * debe ser una ley interna que sea asociativa,
distributiva a derecha y a izquierda, debe poseer un elemento neutro y uno simétrico, y si
además es conmutativo, se denomina “grupo abeliano” o “grupo conmutativo”.
CUERPOS
Un cuerpo es una estructura algebraica que está compuesta por dos operaciones * y º
definidas en un conjunto no vacío A, que se denota (A, *, º), donde (A, *) sedenomina
grupo aditivo y (A, º) grupo multiplicativo, lo que no necesariamente significa que * y º
sean sumas y productos respectivamente.
Una particularidad que cumplen estas estructuras es que el elemento neutro del grupo
aditivo funciona como elemento absorbente del grupo multiplicativo. Por ejemplo, si
consideramos al cuerpo ( , +, .), donde “+” es la suma habitual y “.” es el productohabitual, sabemos que el neutro del grupo aditivo es e = 0, pero si hacemos el producto
entre cero y cualquier número real es cero, en consecuencia, m = 0 para el grupo
multiplicativo.
LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA
Es una operación definida entre elementos de dos conjuntos con resultado único en uno de
ellos, es decir
a A, B: a * = c / c A
donde se denomina escalar o elemento escalar.
Algunaspropiedades de las leyes externas son:
Asociatividad mixta: a A, B, B: a * ( * ) = (a * ) *
Distributividad respecto de la ley interna: a A, b B:
* (a * b) = ( * a) * ( * b)
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MATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES
CONCEPTO
Una matriz es una tabla de elementos organizados dispuestos en filas y columnas, que se
utilizan para analizar relaciones entre los elementos dispuestos en las filas ylas columnas, y
dicha relación se expresa en un valor numérico ubicado en el casillero correspondiente a la
intersección de la fila y la columna correspondiente.
Denotamos como elemento genérico de casilleros de una matriz “A” al elemento aij, donde
el subíndice “i” nos dice a que columna pertenece y el subíndice “j” nos dice en que
columna está incluido. i, j / 1 < i < m y 1< j < n.
El...