algebra

Conceptos de vectores

En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.
Algunosejemplos de mangitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de ladirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:



Si un vector en de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:



Sirepresentamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.



El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.



El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.



El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característicavectorial representado por el vector.



El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.



Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Nombre
Dirección
Sentido
Modulo Punto de aplicación


Temas y subtemas

1- Elementos del Algebra Lineal
-1.1 Conceptos del vector fijo y vector libre
-1.2 Coordenadas y componentes de un vector1.3 Algebra vectorial. Suma y resta de vectores. Multiplicación de un vector por un escalar
1.4 Norma
1.5 Vectores unitarios. Los vectores
1.6 Igualdad de vectores
1.7 Distancia entre dos puntos
1.8 Ángulos y cosenos directores de un vector
1.9 Producto escalar de un vector. Propiedades. Angulo entre vectores
1.10 Producto vectorial de vectores. Propiedades
1.11 Producto mixto devectores. Propiedades
























































UNIDAD 1




















Componentes de un vector


Componentes del vector.
Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí queconstituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema decoordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio debase), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un número finito de componentes...