Algebra

PARTE II. CONJUNTOS

En el lenguaje corriente, Conjunto es cualquier colección de objetos. Los objetos se denominan elementos del conjunto.

Indicaremos los elementos con letras minúsculas a,b,c, … y los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C

Así A={a,b,c,…}

Un conjunto es una entidad de naturaleza diferente de los elementos que lo componen. Así un conjunto de puntos no es un punto,aún cuando él no contenga más que un punto.

A={a}≠a y a no es elemento de A

El conjunto que no contiene elementos se llama conjunto vacío y se denota por (.

Si x es un elemento del conjunto A se escribe x(A y se lee “x pertenece a A”

La negación de x(A se escribe x(A y se lee “ x no pertenece a A”.

Un conjunto está bien definido dado un objeto cualquiera siempre es posible decidir sipertenece o no al conjunto.

Un conjunto puede ser definido de dos maneras:

a. Nombrando sus elementos
b. Enunciando una propiedad que caracteriza a sus elementos

En el primer caso de llama definición por extensión y en el segundo, definición por comprensión.

Ejemplos: Conjunto numéricos importantes

IN={1,2,3,…}
Zl : {…, -2,-1,0,1,2,…}
IR= {x/ x es un número decimal}
Q={[pic] / a( Zl, b( Zl, b≠0}
Il={x( IR ( x(Q}


Definición 12: Dos conjuntos A y B son iguales y se escribe A=B si todo elemento de cada uno de ellos es también elemento del otro.

Definición 13: Sean A y B dos conjuntos cualquiera. A es subconjunto de B o A está incluido en B si todo elemento de A es un elemento de B. Se escribe A(B

Formalmente A(B((x (A ( x (B)


PropiedadesCualquiera sean los conjuntos A y B se tiene:

1. A(A
2. ((A
3. {(A(B(B(C)}(A(C
4. {(A(B(B(A)}(A=B

Definición 14: El conjunto de partes ((A) de un conjunto cualquiera A es el conjunto de todos los subconjuntos de A.

Esto es: ( (A)={x/x(A}

Observación:

1. El conjunto ((A) nunca es vacío, pues ( y A son elementos de ((A) ya que ( ( A y A ( A.
2. Si A tiene n elementos,entonces ((A) consta de 2n elementos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Para ciertos estudios suele considerarse el conjunto U que contiene la totalidad de los objetos básicos de interés para el estudio; este conjunto se llama conjunto universo.

Definición 15: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos lo elementos comunes a los dos conjuntos. La intersección de A y Bse denota por A ( B. Así en lenguaje lógico se escribe de la siguiente forma:

A ( B = { x; x ( A ( x ( B}

La operación de intersección de conjuntos comparte muchas propiedades con el conectivo lógico (.

Propiedades

A ( B= B ( A Conmutatividad
(A ( B) ( C = A ( (B ( C) Asociatividad
A ( U = A Existencia de la identidad
A ( ( = ( Existencia del elemento absorbenteDefinición 16: La unión de dos conjuntos A y B consta de todos los elementos que pertenecen a A o a B .La unión de A y B se denota por A ( B. En lenguaje lógico se escribe de la siguiente forma:

A ( B = { x; x ( A ( x ( B}

La operación de intersección de conjuntos comparte muchas propiedades con el conectivo lógico (.

Propiedades

A ( B= B ( A Conmutatividad
(A ( B) ( C = A ( (B ( C)Asociatividad
A ( U = U Existencia de la absorbente
A ( ( = A Existencia del elemento identidad

Las siguientes propiedades se cumplen para las operaciones de unión e intersección de conjuntos:

A ( (B(C) = (A (B) ( (A( C) propiedad distributiva de la unión con respecto a la intersección

A ( (B ( C)=(A ( B) ( (A(C) propiedad distributiva de la intersección con respecto a la uniónDefinición 17: La diferencia entre dos conjuntos A y B o el complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto que consiste en todos los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. La diferencia entre A y B se denota por A – B. En lenguaje lógico se representa como:

A – B = {x; x ( A (((x(B)}= {x; x ( A ( x(B}

El complemento del conjunto A que se denota por Ac, es el conjunto...