algebra

II.- PRODUCTOS NOTABLES
Representaremos algunos productos notables mediante el uso de material
concreto.
Binomio conjugado.
(y + 4) (y – 4) = y 2 - 4y + 4y - 4 2
= y 2 - 16

Cuadrado de un binomio.

(x + 3) 2 = x 2 + 2 (x) (3) + 3 2
= x 2 + 6x + 9

(2x – 2) 2 = 4x 2 + 2 (2x) (-2) + 2 2
= 4x 2 - 8x + 4

Cubo de un binomio.
(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Representación delcubo de un binomio, utilizando material concreto.

III.- Factorización.
El proceso de escribir como productos de polinomios se llama Factorización y es
una herramienta importante para resolver ecuaciones y reducir expresiones
fraccionarias así; como arreglar los Blocks en rectángulos es lo mismo que
rescribir los polinomios como productos esto es a lo que llamamos Factorización
utilizandoel material concreto.
Esta sección motivó el desarrollo de las siguientes técnicas de Factorización
mostrando a los estudiantes como pueden auxiliarse con los Blocks para
factorizar expresiones algebraicas.
Polinomios con factor común.
x + 2x + xy = x (x + 2 + y )
2

Trinomios con factores de binomios.
2x 2 + x - 15 = (2x -5 ) ( x + 3 )

2

Factorización por agrupación.
2x 2 + 6x –x – 3 = (2x 2 + 6x) – (x + 3)

Se agrupan términos.

= 2x (x + 3) – (x + 3)

Se factorizan grupos.

= (x + 3) (2x – 1)

Propiedad distributiva.

Factorización de formas especiales de polinomios.
a) Diferencia de cuadrados.
4x 2 - 4 = (2x) 2 - 2 2
= (2x + 2) (2x – 2)

b) Trinomio cuadrado perfecto
y 2 + 6y + 9 = y 2 + 2 (y) (3) + 3 2
= (y + 3 ) 2

y 2 - 6y + 9 = y 2 - 2 (y) (3)+ 3 2
= (y – 3) 2

3

c).- Diferencia de dos cubos.
x 3 - y 3 = (x – y) (x 2 + xy + y 2 )
= (x – y) x 2 + (x – y) xy + (x – y) y 2
Donde x = 5, y = 2
Representación de la diferencia de dos cubos, utilizando cubos.

IV.- División.
En esta sección se llevaran a cabo divisiones entre algunos polinomios, las
cuales, se representaran mediante el algoritmo de la división algebraica, deigual
manera, se representaran mediante el uso de material concreto.
División de monomio entre monomio.
Para dividir un monomio entre otro se dividen sus coeficientes con sus signos y
variables, aplicando las leyes de los exponentes. Por ejemplo:
x2
=x
x

Observe que los exponentes se restan.
Representándolo mediante el uso del material, tenemos que el dividendo estará
dentro de laescuadra y el divisor por fuera de la escuadra en la parte izquierda.

4

El cociente quedara representado en la parte superior, por fuera de la escuadra
como lo muestra la figura.

División de polinomios entre monomios.
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos
del polinomio entre el monomio, separados los cocientes parciales con sus
propios signos. Porejemplo:
x 2 + xy x 2 xy
=
+
= x+ y
x
x
x

Representando esta división algebraica mediante el uso del material concreto
tenemos:

División de polinomios entre polinomios.
Partiremos de un ejemplo:

(3x + 3x ) Entre (x + 1)
2

Tanto el dividendo como el divisor, se ordenan en forma decreciente con respecto
a una variable en este caso x.
x + 1 3x 2 + 3x

Divisor

DividendoSe divide el primer término del dividendo, en este caso 3x 2 , entre el primer
término del divisor, en este caso x , así de esta manera encontramos el primer
término del cociente.
3x
x + 1 3x + 3x
2

5

Multiplicamos cada uno de los términos obtenidos por cada uno de los términos
del divisor. A este producto se le cambia el signo para restarlo de los términos
semejantes del dividendo.3x
x + 1 3x + 3x
2

− 3x 2 − 3x
0

Se repite este procedimiento hasta que el residuo sea cero o de potencia inferior
al divisor.
Ejemplo: Realizar la siguiente división entre polinomios, 3x 2 + 2 x − 8 entre x + 2
representarla algebraicamente y mediante el uso de material concreto.
3x − 4
x + 2 3x + 2 x − 8
2

− 3x 2 − 6 x
0 − 4x − 8
4x + 8
0

Representando la división...