Algebra

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

OPERACIONES CON POLINIMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS.
En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos. Ejemplos: Hallar las sumas: a)
3a+ 2b − c con 2a + 3b + c . De acuerdo con lo indicado se tiene. 3a + 2b − c 2a + 3b + c 5a + 5b + 0

b)

7a − 4b + 5c con − 7a + 4b − 6c . Ordenando: 7a − 4b + 5c − 7a + 4b − 6c 0 +0 −c

c)

9x − 3y + 5 con − x − y + 4 y − 5x + 4y − 9 . Ordenando: 9x − 3y + 5 −x− y+4 − 5x + 4y − 9 3x 1 3 1 2 0 1 2 x +
2 2

+0 +0 1 3 1 2 1 3 xy 1 2 xy + 1 4
2

d)

x +

xy con

y . Ordenando:x

2

+
+ 1 3

xy

+0 + 1 4 1 4 y
2

1 2

y

2

xy +

xy +

Simplificando:
1 2 x +
2

 2 + 3  xy + 1 y 2 = 1 x 2 + 5 xy + 1 y 2  4 2 6 4  6 

e)

5ab − 3bc + 4cd , 2bc + 2cd − 3de , 4bc − 2ab + 3de y − 3bc − 6cd − ab . Ordenando: 3-1

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

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OPERACIONESCON POLINIMIOS

5ab − 3bc + 4cd + 0 0 + 2bc + 2cd − 3de + 3de +0 − 2ab + 4bc + 0 +0 +0

− ab − 3bc − 6cd + 0 2ab

f)

(a − b) − (b + c − d) + (b + c − d) + (2b − a) = a − b − b − c + d + b + c − d + 2b − a = b a − (b − c ) + b − (a + c ) − c − (a − b ) = = a − b + c + b − a − c − c − a + b = −a + b − c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

g)

h)

a + 2b − 6a − [3b − 6a +6b] = a + 2b − 6a − [ −6a + 9b] = a + 2b − 6a + 6a − 9b = = a − 7b (x + y − z) − (x − y + z) + ( − x + y + z) − ( − x − y + z) = = x + y − z − x + y − z − x + y + z + x + y − z = 4y − 2z (4x − 2x + x + 1) − (3x − x − x − 7) − (x − 4x + 2x + 8) = = 4x − 2x
3 2 3 2 3 2 3 2 2

2

i)

j)

+ x + 1 − 3x 3 + x 2 + x + 7 − x 3 + 4x 2 − 2x − 8 = 3x 2

2.

RESTA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
Cuandoel sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándose el signo a todos sus términos. La resta se realiza de igual manera que la suma de polinomios. Ejemplos: a) De a + b restar a − b . Ordenando:
a +b − a +b + 2b minuendo sustraendo diferencia

b)

De 8a + 3b restar − 3a + 4. Ordenando:
8a + 3b 3a −4 11a + 3b − 4 minuendo sustraendo diferencia

c)

De 4x − 3y − 2z restar − 3x + 2y + 7z . Ordenando, se tiene:

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3-2

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OPERACIONES CON POLINIMIOS

4x − 3y − 2z 3x − 2y − 7z 7x − 5y − 9z

minuendo sustraendo diferencia

3.

MULTIPLICACIÓNMultiplicación de monomios. Para multiplicar un monomio por otro, se empieza por aplicar la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente las literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus propios exponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma base, se conserva la misma basey se suman los exponentes. Ejemplos: a)
(ab)(ab) = a b
2 2

b)
2

( −9a bc )( −8d e g) = 72a bc d e g

3

2

3

4

3

2

3

4

c)

( −3ax)(5ay) = −15a xy

d)
x +2

 − 1 xy 2 (5xz ) = − 5 x 2 y 2 z   4  4 
)(5a
x+7

e)

(6x y z )( −4xyz ) = −24x y z

2

4

3

4

3

5

7

f)

(3a

) = 15a

2x +9

Multiplicación de un polinomio porun monomio. Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica éste por todos y cada uno de los términos del polinomio, tomando en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados. Ejemplos: a) b) c)
(3x − x + 2x − 4)( −2x ) = −6x + 2x
4 2 3 5 5 2 3 2 2 5 4

− 4x + 8x
5 3 4

3

2

(5a b c − 12ab c − 6a c )( −3abc) = −15a b c + 36a b c + 18a bc (a b +...