algebra

Páginas: 6 (1364 palabras) Publicado: 30 de octubre de 2013
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´ticas
a
Algebra lineal: Taller 1
Departamento de Matem´ticas
a
Agosto 02 de 2013
Nombre:

carrera:

VECTORES

Calificaci´n:
o

El valor absoluto del producto triple representa el volumen del paralelep´
ıpedo formado por los vectores a, b y
c.

ˆ
Si a = (a1 , a2 , a3 ) = a1ˆ + a2 ˆ + a3 k y b = (b1 ,b2 , b3 ) =
i
j
ˆ
ˆ + b2 ˆ + b3 k son dos vectores en R3 entonces:
b1 i
j

EJERCICIOS

• Igualdad : a = b si y solamente si a1 = b1 , a2 = b2 ,
a3 = b3 .

ˆ
1. Dados los vectores a = 2ˆ − 4ˆ + 4k, b = 2ˆ − k y
i
j
j ˆ
c = −2ˆ + 3ˆ hallar:
i
j,

• Adici´n: a+b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
o

a) a+b

• Multiplicaci´n por escalar : ka = (ka1 , ka2 , ka3 ), donde k
orepresenta un n´mero real.
u

• Norma o longitud : ||a|| = a1 2 + a2 2 + a3 2

b) 2a + b
c) ||a||
d) ||a - b||

• Producto punto: a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

e) El coseno del ´ngulo entre los vectores a y b.
a

• Proyecci´n ortogonal : La proyecci´n ortogonal de a
o
o
sobre b, asumiendo que b = 0 es el vector λb donde
a·b
a·b
λ = ||b||2 . Es decir proyb (a) = ( ||b||2 )bf) El coseno del ´ngulo entre los vectores b y c.
a
g) El volumen del paralelep´
ıpedo formado por los vectores a, b y c.

´
• Angulo entre vectores: Si θ es el ´ngulo entre los vectores
a
a·b
no nulos a y b, entonces cos(θ) = ||a||||b||

h) La proyecci´n ortogonal de b sobre c
o

• Vectores ortogonales: los vectores a y b son ortogonales
si y solamente si a · b = 0.

j) Elproducto cruz entre los vectores b y a × c

i) El producto cruz entre los vectores a y c

2. Para cada par de vectores a y b, sea c := a − proyb (a).
Calcule el producto punto entre b y c.

• Vectores paralelos: los vectores a y b son paralelos si y
solamente si existe una constante k tal que a = kb, es
decir uno de los vectores es un m´ltiplo escalar del otro.
u

a) a = (−1, 2) y b = (3, 4)√
3
b) a = (1, 3) y b = ( 5 , 4 )
5

• Producto cruz : El producto cruz entre los vectores a y b
se simboliza por a × b y se define por medio del siguiente
determinante:
ˆ
ˆ ˆ k
i
j
a × b = a1 a2 a3 , donde:
b1 b2 b3
ˆ
ˆ ˆ k
i
j
a1 a2 a3 = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ).
b1 b2 b3
El vector a × b es ortogonal al vector a y al vector b.
En R3 los vectores a, bson paralelos si y solo si a × b = 0

c) a = (4, 1, 1 ) y b = (6, −3, 8)
4
d) a = (6, −2, 3) y b = (2, 5, −1)
De acuerdo con los ejercicios anteriores, ¿que relaci´n
o
existe entre los vectores b y c, donde c = a − proyb (a)?
RECTAS Y PLANOS
En el plano una l´
ınea recta est´ determinada por un
a
punto por donde pasa la recta, y la inclinaci´n (peno
diente) de la recta.
En el espaciouna l´
ınea recta est´ determinada por un
a
punto por donde pasa la recta, y la direcci´n de la reco
ta. La direcci´n es un vector, que es paralelo a la recta;
o
este vector se llama el vector director de la recta.
Si L es una recta que pasa por el punto Q(x0 , y0 , z0 )
y tiene direcci´n v = (a, b, c), entonces cualquier punto
o

• Producto triple: El Producto triple entre losvectores a,
b y c, en ese orden, se simboliza por a · (b × c), y est´
a
definido por el determinante siguiente:
a1 a2 a3
a · (b × c) = b1 b2 b3
c1 c2 c3

1 de 2

Si P1 = (x1 , y1 , z1 ) es un punto en R3 y S es un plano
con vector normal N = (a, b, c) entonces la distancia del
punto P1 al plano S est´ dado por la formula:
a

P (x, y, z) de la recta L est´ representado por la ecuaa
ci´n P= Q + tv, para alg´n valor de t; cada valor del
o
u
par´metro t da un punto sobre la recta L. Dados Q y v,
a
los puntos de la recta L se escriben P (t) = Q + tv, es
decir (x(t), y(t), z(t)) = (x0 , y0 , z0 )+t(a, b, c), ecuaci´n
o
vectorial que da lugar a las tres ecuaciones escalares
siguientes:
x(t) = x0
y(t) = y0
z(t) = z0

dist(P1 , S) =

donde d = −(ax0 + by0 + cz0 )

+ta...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Estos documentos también te pueden resultar útiles

  • Algebra
  • Algebra
  • Algebra
  • El algebra
  • Algebra
  • Algebra
  • Algebra
  • Algebra

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS