algebra

Contenido
1 Matrices y Determinantes
1.1 Definici´n de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.1.1 Igualdad de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Operaciones lineales con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Producto de una matriz por unescalar . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Matriz traspuesta. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Matriz inversa. Unicidad y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Operaciones elementales.Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Matrices equivalentes. Forma normal o can´nica de una matriz . . . . . .
o
1.8.1 Matriz escalonada por filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Forma normal o can´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.9 M´todo de Gauss-Jordan para el c´lculo de la matriz inversa . . . . . .
e
a
1.10 Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Definici´n y propiedades del determinante de una matriz cuadrada . . . .
o
1.11.1 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 C´lculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
1.12 Aplicaciones de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.1 Aplicaci´nde los determinantes al c´lculo de la inversa de una matriz
o
a
1.12.2 Aplicaci´n de los determinantes al c´lculo del rango de una matriz
o
a

i

1
1
2
2
2
3
4
5
6
9
10
13
13
14
20
22
23
25
26
26
26
28

Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a

ii

Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a

0

Cap´
ıtulo 1
Matrices yDeterminantes
Definici´n de matriz.- Operaciones lineales con matrices.- Producto de matrices.- Matriz
o
traspuesta.Propiedades.- Tipos de matrices.- Matriz inversa. Unicidad y propiedades.Operaciones elementales.Matrices elementales.- Matrices equivalentes.- Forma can´nica
o
de Hermite.- M´todo de Gauss-Jordan para el c´lculo de la inversa de una matriz.e
a
Rango de una matriz.- C´lculo delrango mediante operaciones elementales.- Definici´n
a
o
y propiedades del determinante de una matriz cuadrada.- Aplicaciones de los determinantes.

1.1

Definici´n de matriz
o

Se llama matriz de orden m × n a cualquier tabla rectangular A formada por m · n
elementos dispuestos en m filas y n columnas. Dichos elementos suelen ser n´meros
u
reales (R) o complejos (C). El elemento que ocupala fila i columna j se representa por
aij . El conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas con elementos en R se
representa por Mm×n (R). Se representa mediante una tabla rectangular


a11 a12 . . . a1n
 a
a22 . . . a2n 

A =  21
 . . . . . . . . . . . .  = (aij )1≤i≤m
1≤j≤n
am1 am2 . . . amn
Ejemplo 1.1.1.1


7 6 −3 4
−8
A= 2 8 √ 5 
3
7 2
−2 5


A esuna matriz de orden 3 × 4, A ∈ M3×4 (R), y por ejemplo, el elemento a23 vale −8.
• Llamamos matriz nula a la matriz cuyos elementos son todos iguales a cero, es decir


0 0 ... 0
 0 0 ... 0 

0=
 ... ... ... ... 
0 0 ... 0
Ejemplo 1.1.1.2
0 0 0
0 0 0




0 0 0
es la matriz nula de orden 2 × 3 y  0 0 0  es la matriz nula de orden
0 0 0

3×3

1

Universidad deC´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a
•

1.1.1

Igualdad de matrices

Definici´n 1.1.1 Dos matrices son iguales cuando adem´s de ser del mismo orden, los
o
a
elementos que ocupan la misma posici´n en ambas son iguales, es decir
o
dadas A = (aij ), B = (bij )
A = B ⇐⇒ A, B ∈ Mm×n (R), aij = bij , ∀i, j,

1.2
1.2.1

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Operaciones lineales con matrices...