Algebra

 Hiperplano
En geometría, un hiperplano es una generalización del concepto de plano.
En un espacio unidimensional (como una recta), un hiperplano es un punto; divide una línea en dos líneas. En un espacio bidimensional (como el plano xy), un hiperplano es una recta; divide el plano en dos mitades. En un espacio tridimensional, un hiperplano es un plano corriente; divide el espacio en dosmitades. Este concepto también puede ser aplicado a espacios de cuatro dimensiones y más, donde estos objetos divisores se llaman simplemente hiperplanos, ya que la finalidad de esta nomenclatura es la de relacionar la geometría con el plano.
Definición formal
En general, un hiperplano es un espacio afín de codimensión 1. En otras palabras, un hiperplano es un análogo de muchas dimensiones al plano(de dos dimensiones) en el espacio tridimensional.
Un hiperplano afín en un espacio n-dimensional puede ser descrito por una ecuación lineal no degenerada con la siguiente forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.
Aquí no degenerada significa que no todas las ai son 0. Si b=0, se obtiene un hiperplano lineal, que pasa a través del origen.
Las dos mitades del espacio definidas por un hiperplano enespacios de n dimensiones son:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b
y
a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≥ b.

 Conjunto convexo
Una parte C de un espacio vectorial real es convexa si para cada par de puntos de C, el segmento que los reúne está totalmente incluido en C; es decir, un conjunto es convexo si se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en vía recta, sin salir del mismo.
Definición formal: Ces convexo si y solo si para todo y :

Es decir,

En un conjunto no convexo cada segmento que muestra la no convexidad tiene forzosamente que atravesar por lo menos dos veces (en E´y F´) el borde del conjunto (el borde o la frontera de un conjunto C lo constituyen los puntos del espacio en contacto a la vez con C y su complementario). Por tanto la convexidad depende esencialmente de laforma del borde del conjunto, y la definición equivale a:

Nótese que en esta fórmula, la suma de los coeficientes (1-t) y t es 1, por lo tanto el punto así definido no depende del origen del sistema de coordenadas.

En el caso de una frontera diferenciable (sin puntos angulosos) se pueden considerar sus tangentes, y resulta bastante intuitivo que los convexos se caracterizan por hallarseenteramente del mismo lado de cada tangente; es decir que las tangentes nunca atraviesan C (como en el punto A de la figura). Esta propiedad sigue cierta en presencia de puntos angulosos, como en el caso de los polígonos.
Se establece la equivalencia de estas dos caracterizaciones considerando que una tangente (en A por ejemplo) es la posición límite de las cuerdas [AA'] con A' acercándoseindefinidamente de A, en el borde de C. El segmento [AA´] está en C mientras que el esto de la recta (AA') está fuera (por el absurdo: si se encuentra un punto B de C en la recta (AA´), fuera de [AA'], entonces el segmento [AB], exterior a C, contradice su convexidad).

 Desigualdad matemática
En matemáticas una desigualdad es una relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones.1
Enla desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" () son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad
 Para números reales arbitrarios a,b y c:
 Si (a > b) y (b > c); entonces (a > c)
 Si (a < b) y (b < c); entonces (a < c)
 Si (a > b) y (b = c); entonces (a > c)
 Si (a < b) y (b = c);entonces (a < c)
Adición y sustracción
 Para números reales arbitrarios a,b y c :
 Si (a < b), entonces ((a + c) < (b + c)) y ((a − c) < (b − c))
 Si (a > b), entonces ((a + c) > (b + c)) y ((a − c) > (b − c))
Multiplicación y división
 Para números reales arbitrarios a y b; y c diferente de cero :
 Si c es positivo y (a < b), entonces (ac < bc) y (a/c < b/c)
 Si c es negativo y (a <...