Algebra

Universidad de Valpara´
ıso
Instituto de Matem´ticas
a

Gu´ de Trigonometr´
ıa
ıa
1. Hallar el valor num´rico
e
tg α
A=
1 − tg2 α
sec β + tg β
B=
1 − cos2 β
csc γ − cotg γ
C=
sen2 γ + cos γ

a las siguientes expresiones trigonom´tricas.
e
−15
ππ
; si cos α =
; α∈[ , ]
17
42
−4
2π
; si sen β =
; β ∈ [ , 2π ]
5
3
−7
; si sec γ =
; tg γ > 0
5

2. Resolverusando propiedades.
=

x Calcule en t´rmino de x, el valor de A
e

G
M u´a
ı
m ate De
at m pa
.u at rt
´
v. ic a
cl/ as m
dj U ent
im .V o
en .
ez

a ) Sabiendo que sen (140◦)
tg 320◦ sen 70◦ .

=

b ) Si α, θ son ´ngulos complementarios demuestre que
a
(sen θ + sen α)(cos θ + cos α) = 1 + sen (2α)

c ) Demostrar que si 3 sen β = sen (2α + β ) entonces
tg (α + β ) = 2 tgα.

d ) Demostrar que si sen2 2x + 3 sen2 x = 3 para x ∈ R entonces. Determine todos
los posibles valores para csc x.
3. Hallar todos los ´ngulos positivos, menores que 2π ,
a
√
1
−3
a) cos α =
; b) sen α =
2
2
√
3
1
c) tg α =
; d) csc 2α =
3√
2
2
π
e) cos 3α =
; f) sen (α + ) =
2
4
√
π
π
3
; h) tg (5α + ) =
g) cos (2α + ) =
3
2
3
√
√
i) cos (α + 2) = 1
; j) sen2α = 1
π
π
k) csc (3α + ) = 2
; l) cotg (6α − )
5
3

que verifican:

1
2
√

=

4. Construir el gr´fico de las siguientes funciones.
a
a) y = sen 2α ; b) y = 3 sen 2α
α
α
c) y = cos
; d) y = − cos
3
4
π
e) y = sen (α + ) ; f) y = −2 sen (α +
3π
g) y = cos (5α + ) ; h) y = 3 cos (5α +
4
π
i) y = tg (2α)
; j) y = tg (α + )
4
5. Verificar las siguientes identidades:3

π
)
4
π
)
3

√

3
3

a ) cotg x + tg x = sec x · csc x

b ) sen x + tg x = cos x + cotg x
sec x + tg x
c)
= sec x · tg x
cos x + cotg x
sec x
tg x − sen x
d)
=
3x
sen
1 + cos x
4
x
x
sen x − 1 1 − sec2 x
e)
·
= 4 sen2 · cos2
2x
2x
sen
1 + csc
2
2
2
2 − tg x
f ) 2 sen2 x +
= cos2 x + 1
sec2 x
sen x
g ) csc x −
= cotg x
1 + cos x
h ) tg4 x − sec4x = 1 − 2 sec2 x

G
M u´a
ı
m ate De
at m pa
.u at rt
´
v. ic a
cl/ as m
dj U ent
im .V o
en .
ez

i ) sec2 x + cos2 x = tg2 x · sen2 x + 2

j ) tg6 x − sec6 x = 1 − 3 tg2 x · sec2 x

k ) 2 cos2 x − sen2 2x = 2 cos2 x · cos 2x

1 − cos4 x
cos2 x
m ) 2 cos 4x − 1 = 16 cos2 x + 16 sen4 x − 15
l ) sen2 x + tg2 x =

n ) 16 cos3 x · sen2 x = 2 cos x − cos 3x − cos 5x
sec x+ tg x
= − csc x
n)
˜
cos x − cotg x − sec x

6. Determinar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones:
a ) cos x + 2 sec x = 3

b ) 3 cos 2x + sen 4x = 0
x
x
c ) 2 sen + 2 csc
=5
2
2
4
= 4 sen2 x
d) 1 +
sec x
e ) cos4 2x − sen4 2x = 1

1
csc x
3
g ) sen 3x + 4 cos (π − x) = cos (π − x)
1
h ) sen3 x cos x − sen x cos3 x =
4
√
√
i ) sen 3x − 3 cos 3x = 2
f) cotg x · csc x · sen3 x =

j ) tg x + 3 cotg x = 5 sec x

k ) cos 2x + sen x = cos x
l ) cotg x + 2 cos x = 2 cos x · cotg x + 1

m ) cos 2x = sen 2x − tg x

n ) 2 cos4 x + 2 sen4 x = sen 2x
7. Verificar si las siguientes relaciones son identidades. En caso contrario, resuelva las
ecuaciones para x ∈ [0, 2π ].
sec2 x
sec x
sen 3x
b)
cos 6x
c ) sen4 x

a)

+ csc2 x
÷ (tg x+ cotg x) = 1
+ csc x
sen 6x
+
= tg 6x · cos 3x
2 cos 3x
+ sen4 x = 1

d ) sec6 x − tg6 x = 3 sec2 x · tg2 x + 1
8. Resolver los siguientes problemas

G
M u´a
ı
m ate De
at m pa
.u at rt
´
v. ic a
cl/ as m
dj U ent
im .V o
en .
ez

a ) Hallar el ´ngulo de elevaci´n del sol si una torre de 20 mts de alto arroja una
a
o
sombra de 28 mts de largo sobre el terreno(horizontal).
b ) Un tunel de 300 mts de largo asciende en un ´ngulo de 5◦ . ¿Cu´l es la diferencia
a
a
de nivel entre ambos extremo del tunel?
c ) Desde la alto de un edificio de 70 mts de altura se observa un monumento cuyo
pi´ est´ en una visual que tiene un ´ngulo de depresi´n de 30◦ . ¿Cu´l es la
e
a
a
o
a
distancia entre el monumento y el edificio?
d ) Desde la ventana de una casa a 8...