Algebra

Rep´ blica Bolivariana de Venezuela u Universidad Nacional Experimental Polit´cnica e “Antonio Jos´ de Sucre” e Vice-Rectorado Barquisimeto Departamento de Estudios Generales y B´sicos a Secci´n de Matem´tica o a

´ Apuntes de Algebra Lineal

Autores: MSc. Jorge F. Campos S. MSc. Dorka M. Chaves E. Barquisimeto, 2008

´ Indice general

´ Indice general 1. Matrices y Sistemas deEcuaciones Lineales 1.1. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Suma de Matrices y Multiplicaci´n por Escalar o 1.1.2. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Transposici´n o Trasposici´n de Matrices . . . . o o 1.2. Operaciones Elementales por Filas . . . . . . . . . . . . 1.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . 1.4. Inversa de una MatrizCuadrada . . . . . . . . . . . . . 1.5. Determinantes. Propiedades de los Determinantes . . . 1.6. Matriz Adjunta. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . 1.7. Determinantes de Matrices Triangulares por Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I

1 1 5 11 16 19 27 37 46 63 70 76 76 83 88 95 101 107

2. Espacios Vectoriales 2.1.Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Combinaci´n Lineal y Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . o 2.4. Independencia y Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Bases y Dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.6. Rango, Nulidad, Espacio Fila y EspacioColumna de una Matriz

3. Matriz de Cambio de Base. Espacios con Producto Interno 3.1. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Espacios con producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Bases Ortonormales y Proceso de Ortonormalizaci´n de Gram-Schmidt o 3.4. Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Transformaciones Lineales. Autovalores y Autovectores de una 4.1. Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Representaci´n Matricial de una Transformaci´n Lineal . . . . . . o o 4.3. N´ cleo e Imagen de una Transformaci´n Lineal . . . . . . . . . . u o 4.4. Autovalores y Autovectores de una Matriz . . . . . . . . . . . . . 4.5. Diagonalizaci´n . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

117 . 117 . 128 . 132 . 142 149 . 149 . 161 . 168 . 175 . 185

Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

´ Indice general

ii

4.6. Autovectores y Autoespacios Generalizados. Forma Can´nica de Jordan . . . . . . 191 o Ap´ndices e 207

A. Campos y N´meros Complejos u 208 A.1. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 A.2. El Campo de los N´ meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 u B. Algo m´s sobre Espacios Vectoriales a B.1. K-Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . B.2. Espacios Vectoriales de Dimensi´n Infinita o B.3. Espacios con Producto Interno . . . . . . . B.4. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 . 226 . 228 . 228 . 228

C. Algo m´s sobre Transformaciones Lineales a 229 C.1. Transformaciones Lineales Invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 C.2. Autovalores y Autovectores de Transformaciones Lineales . . . . . . ....