Algebra

Transformación lineal
Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
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Transformación lineal.
Índice[ocultar] * 1 Definición * 1.1 Transformación linealnula * 1.2 Transformación lineal identidad * 1.3 Homotecias * 2 Propiedades de las transformaciones lineales * 3 Núcleo (kernel) e imagen * 4 Teorema de las dimensiones * 5 Teoremafundamental de las transformaciones lineales * 6 Clasificación de las transformaciones lineales * 7 Matriz asociada a una transformación lineal * 8 Referencias |
[escribe] Definición
Sedenomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k esun escalar.
[escribe] Transformación lineal nula

[escribe] Transformación lineal identidad

[escribe] Homotecias
con
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominancontracciones
Ver artículo sobre Homotecias
[escribe] Propiedades de las transformaciones lineales
1.
[escribe] Núcleo (kernel) e imagen
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de lasiguiente manera:

* Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
* Elnúcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dado que T(0V) = 0W
2. Dados
3. Dados
* Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) = dim(Nu(T))* O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
* La imagen de todatransformación lineal es un subespacio del codominio.
* El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
rg(T) = dim(Im(T))
[escribe] Teorema de las dimensiones
dim(Nu(T))...