Algebra

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APUNTES DE MATEMATICAS
IV
Autor:Jorge Garc´ Nieva
ıa
Tecnol´gico de Estudios Superiores
o
del Oriente del Estado de M´xico
e
29 de julio de 2010

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INTRODUCCION
El Algebra Lineal es el estudio de los espacios vectoriales y
de los conceptos derivados de ellos, como son las combinaciones
lineales, los conjuntos bases y la representaci´n de los elementos
o
de un espaciovectorial mediante ellas, las bases ortogonales , las
transformaciones lineales y sus representaci´n matricial, los espao
cios asociados a los autovalores y vectores propios de una transformaci´n lineal(descomposici´n espectral), etc.
o
o
El conocimiento de los conceptos anteriores y su interrelaci´n,
o
proporciona a los estudiantes de las ´reas de ingenier´ una s´lida
a
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o
base paratraba jar en la modelaci´n matem´tica de los fen´menos
o
a
o
f´
ısicos dentro de sus respectivas ´reas.En efecto,la teor´ de los
a
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espacios vectoriales tiene amplias aplicaciones , interviniendo por
ejemplo en la resoluci´n matem´tica de problemas de optimizaci´n,
o
a
o
como sucede con el m´todo simplex en la Ingenier´ Industrial, o
e
ıa
bien en el tratamiento simplificado y elegantede la teor´ de la
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regresi´n lineal y multilineal, la estad´
o
ıstica avanzada , la teor´
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del control de calidad, la teor´ de la simulaci´n, la teor´ de las
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o
ıa
ecuaciones diferenciales,etc.
Por lo anterior, es muy importante proporcionar a los estudiantes material did´ctico de calidad, que no se reduzca a la reproa
ducci´n sin sentido de c´lculos, sino que tenga un niveladecuado
o
a
de la exposici´n de la parte te´rica. Es con este fin como el autor
o
o
de estas notas ha recolectado una serie de resultados importantes
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dentro del Algebra Lineal que han sido considerados tradicionalmente como fundamentales por los especialistas de esta ´rea y que
a
son consideradas b´sicas dentro de un curso b´sico de eta asiga
a
natura.
Estas notas comienzan con unaexposici´n acerca de los numeros
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complejos, lo cual es importante para abordar el tema de las matrices ortogonales y sus aplicaciones en la descripci´n geom´trio
e
ca de fen´menos f´
o
ısicos,am´n de que interviene en el tratamiento
e
algebraico de la diagonalizaci´n de la representaci´n de transforo
o
maciones lineales mediante matrices y su ulterior aplicaci´n en el
otratamiento de sistemas din´micos.
a
El cap´
ıtulo 2,trata de las matrices , sus propiedades y conceptos fundamentales asociados.Los conceptos estudiados en este
cap´
ıtulo tienen relaci´n directa con el cap´
o
ıtulo 3, el cual trata sobre
los sistemas lineales y su resoluci´n mediante matrices, expresao
do esto en el procedimiento de Gauss-Jordan , en el m´todo de
e
Cramer y en el m´todo dela inversa de la matriz de coeficientes
e
de un sistema lineal. Cabe notar que los conceptos estudiados en
las unidades 2 y 3 son de amplia apliacaci´n en varios campos deno
tro de la ingenier´
ıa,como por ejemplo,las ecuaciones diferenciales,
la Investigaci´n de operaciones y la estad´
o
ıstica multivariable. En
la unidad 4 se estudian los espacios vectoriales, los cuales representan unageneralizaci´n de la geometr´ plana y del espacio a
o
ıa
espacios multidimensionales, as´ como a espacios con ob jetos no
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necesariamente geom´tricos, como lo son los espacios de matrie
ces o de soluciones de un sistema de ecuaciones ya sea algebraico
lineal o de ecuaciones diferenciales lineales , y que en ingenier´
ıa
son de suma importancia para estudiar fen´menos o sistemas de
otipo lineal. En la unidad 5 se estudian las transformaciones lineales, las cuales aparecen en la pr´ctica en el an´lisis de ob jetos
a
a
que se pueden ampliar, reducir,transladar o rotar; desde luego,su
aplicaci´n a la rob´tica es ineludible,as´ como en la programaci´n
o
o
ı
o
de gr´ficos.
a

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Indice general
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Introducci´n
o
1 N´meros Complejos complejos.
u
1.1....