Algebra

Soluciones
1. 80º 2. 79º 3. 70º 4. 65º 5. y = 40º; x = 50º 6. 36º 7. 32º 8. 90º 9. 18,5º 10. 62º 11. 110º 12. 100º 13. 34º 14. x = 23º; y = 85º 15. 57,5º 16. 121,5º 17. 115º 18. 60º 19. 78º 20. 65º 21. 75º 22. 40º 23. 95º 24. AB = 78º; b = 39º 25. 96º 26. 55º 27. 69º 28. AC = 53º; ∢BPD = 20,5º 29. 26º 30. x = 98º; y = 80º 31. 30º 32. 28º 33. 192º 34. 48º 35. 52º 36. 146º 37. 120º 38. x = 100º; y= 49º 39. 22º 40. x = 58º; y = 26º 41. 92º 42. 30º 43. 26º 44. 44º 45. 40º 46. 45º 47. 147º 48. 118º 49. 42º 50. 170º 51. a = 30º; b = 60º 52. 34º 53. 44º 54. x = 84º; y = 18º 55. 74º 56. 156º 57. 65º 58. 120º 59. 20º 60. 40º 61. 52º 62. 36º 63. 90º 64. 36º

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Circunferencia y círculo

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CAPÍTULO 6

Relaciones métricas en lacircunferencia
Teorema de las cuerdas
Si dos cuerdas se intersecan al interior de la circunferencia, entonces el producto de la medida de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de la medida de los segmentos determinados en la otra.

6.3

B

C PA ∙ PB = PC ∙ PD

P D O

A

Teorema de las secantes
Si dos secantes a una circunferencia se intersecan fuera de ella,entonces los productos de las medidas de los segmentos que, en cada secante, determinan el punto exterior y los dos puntos de intersección con la circunferencia son iguales.

PA ∙ PC = PB ∙ PD A C P

D B

Teorema de la tangente y la secante
Si una tangente y una secante a una circunferencia se intersecan en un punto exterior a ella, entonces el producto de las medidas de los segmentosdeterminados por el punto exterior y los dos puntos de intersección de la secante con la circunferencia es igual al cuadrado de la medida del segmento de tangente determinado por el punto exterior y el punto de tangencia.

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T PA ∙ PB = (PT) 2 A B
Corolario: Las tangentes trazadas desde un punto exterior auna circunferencia son congruentes.

P

Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Si P es el punto de intersección de cuerdas o secantes a una circunferencia, entonces la potencia del punto P respecto de esa circunferencia es el producto entre las medidas de los segmentos cuyos extremos son P y las intersecciones con la circunferencia. La potencia del punto P es cualquiera de losproductos:

PA ∙ PB = PC ∙ PD = PE ∙ PF; etc.
De acuerdo con las propiedades anteriores, estos productos son iguales.

PA ∙ PB = PC ∙ PD = PE ∙ PF = (PT ) 2 E C P D O C A F E T O A B D F P B

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CAPÍTULO 6

1. En la figura, las cuerdas AB y CD se intersecan en el punto P. Si AP = 12 cm; BP = 6 cm; CP =8 cm, ¿cuánto mide DP?

C

Ejercicios resueltos

B P

A D
Solución: Se trata de dos cuerdas que se intersecan al interior de la circunferencia, por lo tanto, se cumple: AP ∙ BP = CP ∙ DP. Asignamos x a la medida del trazo pedido, reemplazamos directamente y obtenemos: 12 ∙ 6 = 8 ∙ x. Así, el trazo DP mide 9 cm. 2. En la figura, P es el punto de intersección de las secantes. Las medidas delos segmentos son las siguientes: AB = 8 cm; BP = 6 cm; DP = 4 cm. ¿Cuánto mide el trazo CP?

C

D P B

A
Solución: Se trata de dos secantes a una circunferencia que se intersecan en un punto exterior de ella. Se cumple: AP ∙ BP = CP ∙ DP Asignamos x a la medida del trazo pedido, determinamos la medida de AP, que es la suma de AB y BP, y reemplazamos: 14 ∙ 6 = x ∙ 4 El trazo CP mide 21 cm.3. En la circunferencia de centro O, P es el punto de intersección de la cuerda CD con el diámetro AB. Las medidas de los trazos son las siguientes: OP = 4 cm; CP = 4 cm; PD = 3 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?

A

O C

P
D B
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Solución: Aplicamos el teorema de las cuerdas. En este...