algebra

Universidad de Concepción
Dpto. de Gestión Empresarial
Ingeniería Comercial
SR/FC.

Pauta Certamen N◦ 1 Álgebra
1. (12 puntos) Determine:
a) El valor de verdad de las proposiciones p, q, r y ssi se sabe que la siguiente proposición
es verdadera:
[s → (r ∨ ∼ r)] → [∼ (p → q) ∧ (s ∧ ∼ r)]
b) El valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes y luego escriba su
negación:
∀x∈ R, ∃z ∈ Z, x + z ∈ R.
/

∃x ∈ R, ∀p, q ∈ Z, x =

p
.
q

Solución:
a) Primero, notemos que (r ∨ ∼ r) es siempre verdadero.
Ahora bien, el condicional del problema es verdadero sólo para trescombinaciones
posibles (según tabla de verdad del condicional):
1) Cuando [s → (r ∨ ∼ r)] es V y [∼ (p → q) ∧ (s ∧ ∼ r)] es V .
De aquí, [∼ (p → q) ∧ (s ∧ ∼ r)] es V si y sólo si:
1.1) ∼ (p → q)es V y
1.2) (s ∧ ∼ r) es V
De 1.2) se desprende que s es V y r es F .
Además, de 1.1) se tiene que ∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q, por ende, p es V y q es F .
2) Cuando [s → (r ∨ ∼ r)] es F y [∼ (p → q) ∧ (s∧ ∼ r)] es V (IDEM).
3) Cuando [s → (r ∨ ∼ r)] es F y [∼ (p → q) ∧ (s ∧ ∼ r)] es F (IDEM).
(04 puntos)

1

b) ∀x ∈ R, ∃z ∈ Z, x + z ∈ R es una proposición FALSA ya que Z ⊆ R y así z ∈ R.
/Luego, como + es una operación binaria interna sobre R, se tiene que x + z ∈ R, para
todo x ∈ R y para todo z ∈ Z.
(02 puntos)
La negación respectiva es:
∼ (∀x ∈ R, ∃z ∈ Z, x + z ∈ R) ⇐⇒ ∃x ∈ R, ∀z ∈Z, x + z ∈ R.
/
(02 puntos)
p
Ahora bien, ∃x ∈ R, ∀p, q ∈ Z, x = es una proposición VERDADERA ya que existe
q
√
√
x = 2 ∈ R y 2 no se puede escribir como fracción ya que es un númeroirracional;
√
es decir, 2 = p ; ∀p, q ∈ Z.
q
(02 puntos)
Su negación es:
∼

∃x ∈ R, ∀p, q ∈ Z, x =

p
q

⇐⇒ ∀x ∈ R, ∃p, q ∈ Z, x =

p
.
q
(02 puntos)

2. (12 puntos) Demuestre que para A, Bconjuntos cualesquiera: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
Demostración.
Demostraremos esta igual por el método directo.

∀x : x ∈ (A ∪ B)c ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B)
/

(def. de complemento)

⇐⇒∼ [x ∈ (A ∪...