Algebra

`
Algebra Lineal
Exercicis resolts

Rafel Amer Ramon
`
Vicenc Sales i Ingles
¸
`
Departament de Matematica Aplicada II
`
Escola Tecnica Superior d’Enginyeries
`
Industrial i Aeronautica de Terrassa

c 2009-2010 Rafel Amer i Vicenc Sales
¸

`
Aquesta obra es distribueix sota la llicencia creative-commons amb les condicions
´
`
Reconeixement-No comercial-Compartir de laversio 2.5 d’aquesta llicencia. Resumint:
Sou lliure de:
copiar, distribuir i comunicar publicament l’obra,
´
fer-ne obres derivades,
amb les condicions seguents:
¨

`
`
Reconeixement. Heu de reconeixer els credits de l’obra de la manera espe`
cificada per l’autor o el llicenciador (pero no d’una manera que suggereixi que us
donen suport o rebeu suport per l’us que feu l’obra).
´
Nocomercial. No podeu utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials.
`
Compartir amb la mateixa llicencia. Si altereu o transformeu aquesta obra,
´
o en genereu obres derivades, nomes podeu distribuir l’obra generada amb una
`
`
llicencia identica a aquesta.
`
• Quan reutilitzeu o distribu¨u l’obra, heu de deixar ben clar els termes de la llicencia
ı
de l’obra.
• Alguna d’aquestescondicions pot no aplicar-se si obteniu el perm´s del titular dels
ı
drets d’autor.
`
• No hi ha res en aquesta llicencia que menyscabi o restringeixi els drets morals de
l’autor.
`
Podeu trobar el text complet de la llicencia a l’adreca
¸
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/legalcode.ca
`
`
Escola Tecnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronautica de Terrassa
Colom 1108222 Terrassa
rafel.amer@upc.es

Introducci´
o

`
´
Aquesta col.lecci´ de problemes d’Algebra lineal es el resultat de les classes impartides per la Secci´ de
o
o
Terrassa del Departament de Matem` tica Aplicada II a l’Escola T` cnica Superior d’Enginyers Industrials i
a
e
Aeron` utics de Terrassa des de la posada en marxa del nou pla d’estudis.
a
En el llibre s’han incl` sexemples similars als explicats a classe per aconseguir una major comprensi´ dels
o
o
conceptes te` rics desenvolupats i uns altres problemes d’un major grau de dificultat que intenten aclarir
o
aquells punts en els quals hem constatat que els estudiants tenen m´ s dificultats. No oblidem, per` , que
e
o
per aconseguir aquesta comprensi´ es imprescindible l’esforc i el treball personal, tant pelque fa a l’estudi
o´
¸
d’aquests conceptes com a la resoluci´ d’exercicis. Esperem que el llibre sigui d’utilitat als estudiants i
o
els aconsellem que intentin resoldre els problemes abans de llegir la soluci´ . En molts casos, segurament,
o
trobaran solucions alternatives a les proposades.
`
Els temes en qu` est` dividit el llibre s´ n habituals en qualsevol curs d’Algebra Lineal i s’hadedicat
e
a
o
`
´
especial atenci´ als aspectes geom` trics de l’Algebra Lineal; aix´, els dos ultims cap´tols estan dedicats
o
e
ı
ı
a la Geometria i a l’estudi de les c` niques i qu` driques.
o
a
Encara que, inicialment, aquest llibre estigui pensat per a estudiants d’Escoles T` cniques Superiors d’Ene
´
ginyeria, tamb´ pot ser util als estudiants de Matem` tiques, F´sica i, engeneral, a tots aquells que hagin de
e
a
ı
`
cursar l’assignatura d’Algebra Lineal.
R AFEL A MER I V ICENC S ALES
¸

4

Introducci´
o

´
Index

Introducci´
o

3

´
Index

5

1

7

Matrius i determinants
1.1 Matrius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Determinants . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2

Sistemes d’equacions lineals i invers´
o

19

2.1 Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....