algebra

Álgebra Superior
Araceli Reyes
Septiembre 2003

ii

Índice general
1. Método axiomático
1.1. Introducción al método axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Axiomas y Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Deducciones y demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2
3

2. Conjuntos y Funciones
2.1. Terminología ynotación de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Propiedades de las operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . .
2.3. Productos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
6
7

3. Los
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.

números naturales
Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . .
Propiedades de las operaciones entre naturalesDemostraciones por inducción . . . . . . . . . .
Definiciones inductivas . . . . . . . . . . . . . .
Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Propiedades del orden. . . . . . . . . . .
3.7. Principio del buen orden . . . . . . . . . . . . .
3.8. Funciones y relaciones . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1. Dominio y contradominio . . .. . . . .
3.9. Clasificación de funciones . . . . . . . . . . . .
3.10. Composición de funciones . . . . . . . . . . . .
3.11. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
9
10
15
15
17
17
18
19
19
20
21
23

4. Relaciones binarias
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
25
25

5. Matemáticas discretas
5.1. Relaciones entre conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Gráfica dirigida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Representación matricial de una relación. . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Definiciones del álgebra matricial en general . . . . . . . .5.2.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Operaciones entre relaciones: . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Propiedades de las relaciones y estructura de las matrices

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

29
29
29
34
34
35
37
39

6. Conteo
6.1. Principios básicos . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Suma y resta para contar . . . . .6.2. Principio de inclusión y exclusión para dos
6.2.1. Producto y división para contar . .

.
.
.
.

.
.
.
.

43
43
44
47
49

iii

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
y tres conjuntos
. . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

iv

ÍNDICE GENERAL
6.2.2. Integración de los principios de suma yproducto . . . . . . .
6.2.3. Miscelánea de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Los
7.1.
7.2.
7.3.

números enteros.
El anillo de los números enteros . . . . . . . .
Propiedades de las operaciones entre enteros.
Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Algoritmo de la división . . . . . . .
7.3.2. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . .
7.4. Númerosprimos . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Teorema de factorización única . . . . . . . .

56
58

.
.
.
.
.
.
.

61
61
61
62
63
65
68
69

8. Congruencias
8.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . ....