algebra

Problemario de C´lculo Diferencial de Varias
a
Variables
Mar´ Jos´ Arroyo, Shirley Bromberg y Patricia Saavedra
ıa
e
26 de junio de 2007

Cap´
ıtulo 1

Introducci´n a la Geometr´
o
ıa
Vectorial
1.1

Objetivos

El estudiante ser´ capaz de:
a
• representar un vector, manejar las operaciones de suma de un n´mero
u
finito de vectores y multiplicaci´n por escalares; enparticular, reconoo
cer y constrir combinaciones lineales en el plano y en el espacio;
• identificar la magnitud de un vector como la distancia entre sus extremos y utilizar este concepto para construir un vector con magnitud
dada en la direcci´n de otro vector dado tanto en el plano como en el
o
espacio;
• comprender y operar el significado de: el producto escalar en el plano y
en el espacio y susignificado geom´trico para determinar la proyecci´n
e
o
de un vector en otro; el producto cruz y el triple producto escalar en
el espacio y su representaci´n geom´trica; aplicar estas operaciones en
o
e
c´lculos de ´reas y vol´menes de algunas figuras geom´tricas;
a
a
u
e
• determinar o construir vectores con propiedades como: ser paralelo
a y ser perpendicular a; comprender los conceptosde componente y
proyecci´n y aplicarlos en distintas situaciones como por ejemplo, calo
cular la distancia de un punto a una recta dada;
• reconocer, construir y transformar las expresiones que determinan una
recta en el plano y en el espacio a partir de ciertos datos, por ejemplo:
pasa por P y es paralela a, ortogonal a, etc.;
2

1.2. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE GEOMETR´ VECTORIAL
IA3

• reconocer, construir y transformar las expresiones que determinan un
plano en el espacio a partir de ciertos datos, por ejemplo: pasa por los
puntos, cuya normal es, que contiene a las rectas, etc.;
• determinar el ´ngulo entre una recta y un plano y entre dos planos;
a
• determinar la intersecci´n entre rectas, entre planos, entre rectas y
o
planos;
• calcular distancias: entre unpunto y una recta; entre un punto y un
plano; entre dos planos; entre una recta y un plano; entre dos rectas
paralelas y entre dos rectas oblicuas.

1.2

Ejercicios y problemas de geometr´ vectorial
ıa

Represente en el plano v, w, v + w, w−v, 1 v, 4w− 1 w en los casos siguientes
3
2
1. v = ı − 2, w = −3ı + 2;
2. v = 3ı + 4, w = −4ı + 3;
3. v = −ı − , w = 3ı + 5;
2
4. v =5(−2ı + 3) − 2(5ı − 3), w = 1 (ı + ) − 3 (−ı + 2).
3

Represente en el espacio v, w, v+w, w−v,

1
1
v, 4w− w en los casos siguientes:
3
2

5. v = 2ı + 5 − 4k, w = 3ı + 4 − 5k;
6. v = −ı + 2k, w = ı − 2 − 3k;
7. v = ı +  + k, w =  − k;
8. v = 2ı − , w =  − 3k.
9. Para cada uno de los incisos del primer ejercicio encuentre v , 2v−3w,
v − w , el vector unitario en la direcci´nde v y el ´ngulo entre los
o
a
vectores v y w.
10. Para cada uno de los incisos del segundo ejercicio, halle 2v − w, v · w,
− v − w , el vector unitario en la direcci´n de v y halle el ´ngulo
o
a
entre los vectores v y w.

CAP´
ITULO 1. GEOMETR´ VECTORIAL
IA

4

En cada uno de los incisos que siguen, d´ un vector en el plano en la direcci´n
e
o
del vector v = 7ı − 5 quesatisfaga la condici´n pedida:
o
11. Cuya magnitud sea el doble de la de v.
12. Cuya magnitud sea la mitad de la de v.
13. Cuya magnitud sea 3.
En cada uno de los incisos que siguen, d´ todos los vectores en el plano que
e
se describen:
14. Forma un ´ngulo de 30o con el eje de las x y tiene longitud 3.
a
15. Es perpendicular al vector −2ı + 3 y tiene magnitud 2.
16. Est´ en la direcci´n SO(SurOeste) y tiene magnitud 1.
a
o
−
−
→
17. Encuentre el vector fijo que es equivalente al vector P Q donde P (3, 2)
y Q(3, −2).
18. ¿Cu´les son las coordenadas del extremo del vector en la direcci´n del
a
o
vector −3ı + 4 de longitud 2?
19. Halle los cosenos directores de los vectores v = −ı + 2 − 3k, v =
−ı + 2 − 3k y w = 2ı − 3 − 4k.
20. ¿Es posible hallar un vector unitario...