Algebra

Ingenier´ Matem´tica ıa a
FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o

Importante: Visita regularmente http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ SEMANA 1: LOGICA

1.

L´gica o

La l´gica le proporciona a las matem´ticas un lenguaje claro y un m´todo preciso o a e parademostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo: axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ cl´sica ıa a + l´gica o = teoremas de la geometr´ euclidiana ıa Un ejemplo de noci´n primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice o que por un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´lo una recta paralela o a L. Sin la l´gica los axiomas ser´ un mont´n de verdadesaceptadas, pero nada m´s. o ıan o a La l´gica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) o que antes no conoc´ ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´ngulos interiores a de cualquier tri´ngulo siempre es de 180◦ . a Al ser la l´gica el punto de partida de las matem´ticas, en ella se deben introducir o a nociones primarias tales como proposici´n, valor deverdad, conectivo l´gico. o o

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1.1.

Proposiciones y valor de verdad

Definici´n 1.1 (Proposici´n l´gica). Una proposici´n debe interpretarse como o o o o un enunciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero (V ) o falso (F ). Por ejemplo, en el contexto de laaritm´tica, “2+1=5” corresponde efectivamente a e una proposici´n. M´s a´ n, su valor de verdad es F . o a u T´ ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´ sculas: p, q, r, etc. u Algunos ejemplos: “Estoy estudiando ingenier´ ıa”. “1≥ 0”. “Est´ lloviendo en Valdivia”. a

1.2.

Conectivos l´gicos o

Los conectivos l´gicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposiociones ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´n depender´ del valor o a de verdad de las proposiciones que la forman. Esta dependencia se explicita a trav´s e de una tabla de verdad. Definici´n 1.2 (Negaci´n). La proposici´n p se lee “no p” y es aquella cuyo valor o o o de verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´n de “mi hermano ya o cumpli´ quince a˜ os” es “mihermano a´n no cumple quince a˜ os”. Esto se explicita o n u n a trav´s de la siguiente tabla de verdad. e

1

p V F

p F V

Definici´n 1.3 (O l´gico o disyunci´n). La proposici´n p ∨ q se lee “p o q”. o o o o Decimos que p ∨ q es verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dos proposiciones, o bien p o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´n “ma˜ ana o n llover´ oma˜ ana no llover´” es verdadera. En otras palabras, tal como se aprecia a n a en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´ a diciendo es que nunca son simult´neamente falsas. a p V V F F q V F V F p∨q V V V F

Definici´n 1.4 (Y l´gico o conjunci´n). La proposici´n p∧q se lee “p y q”. Tal o o o o como se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguienafirma que se tiene p ∧ q, lo que nos est´ diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas. a p V V F F q V F V F p∧q V F F F

Definici´n 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar vero dadera la proposici´n “si el se˜ or K est´ en California entonces el se˜ or K est´ en o n a n a Estados Unidos”. ¿Por qu´? e Porque a uno no le importa d´nde est´ el se˜ or K: podr´a estar enTexas o en Chio a n ı na. Lo unico importante es que, si efectivamente “est´ en Californa”, entonces ´ a podemos concluir, con esa sola informaci´n, que “est´ en Estados Unidos”. o a La proposici´n p ⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces q”. Para estudiar su valor o de verdad nos debemos concentrar en el caso de que la hip´tesis p sea verdadera. o Ah´ tenemos que determinar si basta con esa...