algebra

´
Algebra, C´lculo Num´rico y Geometr´ Anal´
a
e
ıa
ıtica
Curso 2013
Ejercicios de repaso

Temas 2do. parcial
1.

2
2
a) Decir si en C es v´lido que 2z1 + 2z2 = 0 ⇐⇒ z1 = 0 ∧ z2 = 0.Justificar.
a
2

b) Resolver (z 2 − 3) = i76
c) Representar en el plano complejo:
{z ∈ C/Re(z 2 + i) < 3, Im(z − i) > −2}
2. Dado p(x) ∈ C[x] con todos sus coeficientes reales, probar que si α ∈ Ces ra´ de p(x),
ız
entonces α tambi´n lo es.
e
3. Dado p(x) = 3x4 + 12x3 + 21x2 + 18x + 6
a) Comprobar que −1 es ra´ y hallar su multiplicidad.
ız
b) Hallar las restantes ra´ en C.
ıces
c)Factorizar en polinomios irreducibles de C[x].
d ) Factorizar en polinomios irreducibles de R[x].


0 4 3
4. Dada la matriz A = 1 2 1
3 2 2
a) Usando operaciones elementales por filas,analizar si A es invertible.
b) De serlo, hallar la inversa y comprobar que lo es.
c) ¿Cu´l es el rango de A?
a


0
3
5. Sea A = 
−1
4

1
2
1
0


2 −1
0 0

0 2
1 2

a)Calcular det(A).
b) ¿Es A invertible? Justificar.


 x +2y −3z −11w = −9
6. Resolver el sistema 2x −y −5z +12w = −15

3y +4z −25w = 12
1

7. Hallar y representar los complejos z queverifican:
i35 (z − 1)2 =

4 + 4i
4 − 4i

8. Hallar los v´rtices de un hex´gono regular centrado en el origen sabiendo que uno de ellos
e
a
es z = 2 + 2i. Hallar area y per´
´
ımetro de ese hex´gono.a
9. Demostrar:
a) si p(x), q(x), h(x), b(x) ∈ C[x] cumplen q(x)|p(x) ∧ q(x)|[h(x)p(x) + b(x)] entonces
q(x)|b(x).
b) si p(x), q(x) ∈ C[x] son tales que q(x)|p(x) ∧ α ∈ C es ra´ de q(x) conmultiplicidad
ız
k, entonces α es ra´ de p(x) con multiplicidad mayor o igual que k.
ız
10.

a) Hallar el polinomio m´nico de grado m´
o
ınimo y coeficientes reales p(x) que cumple:
2
x + 4|p(x),p(−3) = p (−3) = 0, y adem´s 3 + i es ra´ triple. Justificar.
a
ız
b) ¿C´mo cambia p(x) si sus coeficientes pudieran ser no reales?
o

11. Hallar X tal que A2 X = B t , siendo

1 3
−1 0
,...