Algebra

C u r s o : Matemática
Material N° 18
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN DE LA RECTA
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas
rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares y el punto de intersección se considera
como origen.
Y (Ordenadas)
6

II
Cuadrante

I
Cuadrante5
4

A

3
2
1

B

-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2

C
III
Cuadrante

1

2 3 4 5 6

X (Abscisas)

-3
-4

IV
Cuadrante

-5
-6

OBSERVACIONES
Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) y C = (-5, -3)
Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0)
Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su formaes (0, y)
EJEMPLO

1.

Sean a y b números enteros, de modo que a > b. Entonces, el punto D cuyas
coordenadas son (a – b, b – a) se ubica en
A)
B)
C)
D)
E)

el
el
el
el
el

primer cuadrante
segundo cuadrante
origen del sistema
tercer cuadrante
cuarto cuadrante
1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos),A(x1, y1) y
B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
y
dAB =

B

y2

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

y 2 − y1
A

y1

x 2 − x1

0

x1

x2

x

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son
xm

x + x2
= 1
,
2

ym

y

y + y2
= 1
2

B

y2
M

ym
y1
0

A
x1xm

x2

x

EJEMPLOS

1.

¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos
A (-1, -5) y B (-7, 3)?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

5
2 2
10
4 2
10

En la circunferencia del ejercicio 1, ¿cuáles son las coordenadas del centro?
A)
B)
C)
D)
E)

(-8, -2)
(-4, -1)
(-3, -4)
⎛ 7 3⎞
⎜- 2, - 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 9 1⎞
⎜ - 2 ,- 2 ⎟
⎝
⎠
2

PENDIENTEDE UNA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x,
en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
y
L
B
y2
y − y1
BP
y2 – y1
m = tg α =
= 2
AP
x2 − x1
A α
y1
P
α

x1

x2

x

x2 – x1
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente dela recta L. Entonces:
(α = 0º) si y sólo si (m = 0)

(0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)

y

y
L
L

α

x

0

x

0

L es paralela al eje x

L tiene pendiente positiva

(α = 90º), si y sólo si (m no está definida)
y
L

(90º < α < 180º) si y sólo si m < 0)

y
L

α

0

α

x

0

L es paralela al eje y

L tiene pendiente negativa

EJEMPLOS

1.

Lapendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1)
A)
B)
C)
D)
E)

x

6
5
6
7
7
8
8
5
8
7
-

3

y

B(-6, 7) es

2.

¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva?
A)

B)

C)
y

y

E)
y

y

x

3.

D)

x

y

x

x

x

¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 7?
A)

B)

y

C)

y

D)

y

x

-7y
7

7

1

E)

y
1

1

7

x

x

7

x

-1

x

-1

4.

Si los puntos A(2, 3),
A)
B)
C)
D)
E)

5.

B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces a =

5
3
1
-3
-7

Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuánto debe ser el valor de k
para que el producto de las pendientes de AB y CD sea -1?

A)
B)
C)
D)
E)

-9
-3
3
9
154

ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es
y – y1 = m(x – x1)

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación

anterior se escribe:
y = mx + n

Ecuación principal de la recta
n: coeficiente de posición

EJEMPLOS

1.

La ecuación de la recta que pasa por el punto...