algebra

Algebra proposicional.
Una proposición, para los fines de esta exposición, es una declaración la cual puede ser verdadera o falsa, por ejemplo: 5 > 4, 2+2=5, “Pedro comió a las 3″, “Me gusta la sopa”. Algunas veces es más difícil que otras determinar si la declaración (o proposición) es verdadera o falsa, en otras palabras, si toma el valor de verdad o falsedad. Sin embargo, esto no cambia elhecho de que existe sólo una posibilidad, ya sea que la propuesta puede que sea verdadera o sea falsa. Algunas declaraciones que no califican con este criterio son “Tu sweater es bonito”, ײ = 9, “¿ Cómo dijiste?”.
Esta definición propuesta es una definición formal, esto es, una definición que se ha hecho cuidadosamente para que todas las posibilidades queden cubiertas; se ha hecho de este modocon el fin de que no existan ambigüedades ni malentendidos. En muchas ocasiones, se utilizan letras para representar las proposiciones. Se dice que una proposición es simple o atómica, si no está compuesta por otra proposición. Las Proposiciones compuestas se pueden crear combinando conectores con proposiciones simples.
Semántica:
Negación (¬p)
Consiste en cambiar el valor de verdad de unavariable proposicional.
Lenguaje normal No, lenguaje simbólico ¬,~,p̅, tabla de verdad:
P
¬p
V
F
F
V

Disyunción (pᴠq)
Lenguaje normal o, lenguaje simbólico ᴠ. La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas. Tabla de verdad:
P
Q
pᴠq
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
Conjunción (pΛq)
Lenguaje normal y, lenguaje simbólico Λ. La sentencia seráverdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas. Tabla de verdad:
P
Q
PΛQ
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
Condicional (p→q)
Lenguaje normal Si… entonces, lenguaje simbólico →. La sentencia será falsa cuando se cumpla que es válido p, pero NO lo es q, en el resto de los casos la sentencia es verdadera. Tabla de verdad:
P
Q
P→Q
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
VBicondicional (p↔q)
Lenguaje normal,… si y solo si…, lenguaje simbólico ↔. La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales. Tabla de verdad:
P
Q
P↔Q
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
Ejemplo evalué:
i) (¬pᴠq) ↔¬ (pΛ¬q)
P
Q
¬p
(¬p ᴠq)
¬q
P Λ¬q
¬(p Λ¬q)
(¬p ᴠ q)↔¬(p Λ ¬q)
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
VF
V
V
TAUTOLOGIA
ii)((p→q)Λp)→¬q
P
Q
p→q
( (p→q)Λp)
¬q
((p→q)Λp)→¬q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
CONTINGENCIA
iii)(¬pᴠq)↔¬(p→q)
P
Q
¬p
(¬pᴠq)
p→q
¬(p→q)
(¬pᴠq)↔¬(p→q)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
CONTRADICCION
TAUTOLOGIA: Es una estructura que no depende de los valoresiniciales, siempre es verdadera.
CONTINGENCIA: Es una estructura en donde el resultado final depende de las condiciones iniciales.
CONTRADICCION: Es una estructura que no depende de los valores iniciales siempre es falso.
Ejemplo:
Si estudio entonces aprendo.
Si aprendo entonces apruebo.
Aprobé.
Por lo tanto estudie y aprobé
Por lo tanto estudie o aprendí, estudie y no aprendí.
Validando: estudieentonces aprendí.
p: yo estudio
q: yo aprendo
r: yo aprobé
H1: p→q hipótesis 1
H2: q→r hipótesis 2
H3: r hipótesis 3
C: pΛq Argumento lógico o conclusión.
El argumento es lógico cuando la hipótesis implica la conclusión.
(H1ΛH2ΛH3)→C
(p→q) Λ (q→r)Λ(r)→ pΛq (Estructura del argumento)
El resultado final de esta operación es una TAUTOLOGIA o debe de ser una TAUTOLOGIA.

(p→q) Λ(q→r)Λ(r)→(p→q)
p
q
r
(p→q)
(q→r)
Λ
→(p→q)
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
CONCLUCION: (p→q)
Ejemplo:
Simbolice las siguientes preposiciones
1. Ni de oriente ni de occidente ni del centro vendrá la salvación.
p: de oriente vendrá la salvación.
q: de...