algebra



















TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL


Eliminación de Gauss-Jordán
JUSTIFICACION : En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve porel método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Este método, que constituyeuna variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de lasque la siguen.

Reducción Gauss-Jordan
Las operaciones elementales de renglón son las siguientes:
1. Reemplazar Ri por aRi donde a es un número distinto de cero (En palabras: multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero). 
2. Reemplazar Ri por aRi ± bRj donde a es un número distinto de cero (reemplazar un renglón por una combinación lineal con otro renglón). 
3.Intercambiar dos renglones
Por uso de operaciones de estos tres tipos, se puede poner cualquier matriz en forma reducida. Una matriz es reducida, o en forma escalonada reducida si:
P1. El primer elemento diferente de cero de cada renglón, (llamado el elemento destacado de aquel renglón) es 1. 
P2. Las columnas de los elementos destacados son despejadas (esto es, contienen cero en cada posición por encimay debajo del elemento destacado.) El proceso de despejar a una columna por uso de operaciones de renglón se llama pivotar. 
P3. El elemento destacado en cada renglón está a la derecha del elemento destacado del renglón anterior, y los renglones de cero (si hay) están en la parte inferior de la matriz.
El procedimiento de reducir una matriz hasta a la forma escalonada reducida se llamatambién reducción Gauss-Jordan .
Multiplicación de un renglón por un número distinto de cero 
Se escribe, por ejemplo, la instrucción 3 R2 al lado de Renglón 2 para significar "Multiplica Renglón 2 por 3."

1
-2
5


3
0
9

3 R2



1
-2
5


9
0
27


Reemplazo de un renglón por una combinación con un otro renglón 
Se escribe, por ejemplo, la instrucción 3 R1-2 R2 al lado de Renglón1 para significar: "Reemplaza Renglón 1 por tres veces Renglón 1 menos dos veces Renglón 2. 
En palabras: "Tres veces la parte superior menos dos veces la parte inferior."

1
-2
5

3 R1-2 R2

3
0
9





-3
-6
-3


3
0
9


Intercambio de dos renglones 
Se escribe, por ejemplo, la instrucción R1↔ R2 para significar el intercambio de Renglón 1 y Renglón 2.

1
-2
53
0
9



 
R1↔R2

3
0
9


1
-2
5


EJEMPLO:
GAUSS – JORDAN

x+y+Z=2
2x-y+2Z=7
-3x+2y-2Z=-9

R2R2-2R1 R3R3+3R1



R2R2/-3R1R1-R2


R3R3 -5R2 R1R1-R3



ENCONTRAMOS LA SOLUCION A NUESTRO SISTEMA

X=1
Y=-1
Z=2








2x-5y+3z=4
x-2y+z=3
5x+y+7z=11
La matriz aumentada es

R2R1 R2R2 - 2R1

R3R3 -5R1R2-R2 R3R3 -11R2)R1R1+2R2) R3R3/13 R1R1+1R3

R2R2+1R3 Sistema solución es x=5 Y=0 Z=-2
10-6=4
5-3=3
25-14=11
Método de gauss
Rango de una matris =# de filas





METODO DE GAUSSIANO
JUSTIFICACION: cuando un sistema es consistente cuando almezos tiene una solución inconsistente es cuando no tiene solución
matriz escalonado reducida por renglones se le halla aplicado método gauss...