algebra

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
DETERMINANTES
Ing. Griselda Ballerini
2006
Definición:
Se llama determinante de orden n a la función o aplicación cuyo dominio es el conjunto de las
matricescuadradas y cuyo rango o imagen es el conjunto de los números reales.

f: A =

( aij ) n

→ R

↓
A o det(A)
Determinante de orden 2:
Se llama así al,cuadro de 4 números A =

a11

a12

a 21a 22

cuyo valor se obtiene haciendo: a11. a 22 - a21. a12
Ejemplo:

1
A =

3

-5 7

= 1.7 - (-5).3 = 22

Observación:

 1 3
El determinante anterior surge de aplicar la funcióndeterminante a la matriz A = 

-5 7 
Cálculo de determinantes:
Introducción:
Submatriz cuadrada: Dada A =

(aij ) pxq se llama así a toda matriz que pueda obtenerse de A,

quitando filasy columnas.

1

 2 3 -1 7 


A = 6 2 3 -1 


1 0 0 3 
3 -1 7 


C =  2 3 -1 


0 0 3 

2 3 
B = 

6 2 

B y C son submatrices cuadradas de la matrizA.
Para este tema nos interesan las submatrices cuadradas de matrices cuadradas que se obtengan de
la dada quitando una fila y una columna.
Menor ij: Mij
Dada una A = (a ij )n se llama así aldeterminante de la submatriz de A que resulta de quitar la
fila i y la columna j.
Ejemplo:
 3 -1 2 


A = 5 7 1 


0 -2 3 

M 11 =

7 1
= 21 + 2 = 23
-2 3

M 23 =

3 -1
= -6+ 0 = -6
0 2

En todos los casos los menores son determinantes menores en 1 al orden de la matriz de la cual se
partió.
Adjunto ij:

A ij

Se llama así al producto: (-1)i+ j. M ij
En elejemplo anterior:
1+ 1
A11 = (-1) . M 11 = 23
A 23 = (-1)2+ 3. M 23 = 6

Cálculo de determinantes:
2

Se prueba que dada A = (a ij )n , su determinante asociado
n

n

∑ aij.(-1)

i+j

A=

. M ij =

i =1

∑ aij. A ij

(1)

i=1

Como el subíndice que se mueve es i, esta expresión corresponde al desarrollo de |A| por la columna
j
n

∑ aij

A =

n

i+ j

(-1)...