Algebra

UNIVERSIDAD DE ATACAMA
´ FACULTAD DE INGENIER´ / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA IA

Gu´ de Espacios Vectoriales: ALGEBRA II ıa
Profesores: Salim Elal, David Elal y Gonzalo Astorga Primer a˜ o PlanCom´ n de Ingenier´ n u ıa Segundo Semestre 2009

1. Para n ≥ 0 el conjunto Pn de polinomios de grado menor que n consiste en todos los polinomios de la forma p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ....... + an−1tn−1 donde los coeficientes a0 , a1 , a2 , ......., an−1 y la variable t son n´meros reales. El grado de p(t) es la mayor u potencia de t con coeficiente distinto de cero. Si p(t) = a0 = 0 el grado dep(t) es cero. Si todos los coeficientes son cero, entoneces el grado de p(t) es el polinomio cero. El polinimio cero esta incluido en Pn aun cuando su grado, por razones t´cnicas, no e est´ definido. eSean p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ....... + an−1 tn−1 y q(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + ....... + bn−1 tn−1 y definamos la suma p + q como: (p + q)(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + (a2 + b2 )t2 + ....... +(an−1 + bn−1 )tn−1 y definamos el producto α · p como: (α · p) = p(t) = (αa0 ) + (αa1 )t + (αa2 )t2 + ....... + (αan−1 )tn−1 con las definiciones de suma y producto, antes definidas, pruebe que (Pn , +, ·) esun espacio vectorial 2. Sea S= a a+b a+b b / a ∈ R, y b ∈ R

Pruebe que S es un subespacio vectorial de M2x2 3. Pruebe que toda recta en el plano que pasa por el origen es un subespacio vectorialde R2 4. Pruebe que toda recta en el espacio que pasa por el origen es un subespacio vectorial de R3
ALGEBRA II: Gu´ de Espacios Vectoriales ıa

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5. Pruebe que todo plano en el espacio que pasapor el origen es un subespacio vectorial de R3 6. Sea S = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 1}. ¿Es S un subespacio vectorial de R2 ? 7. Sea   s + 3t   s−t W =   2s − t   4t       / s ∈ R, yt ∈ R     

¿Es W un subespacio vectorial de M4x1 ? 8. Sea W el conjunto de todos los polinomios de la forma p(t) = at donde a ∈ R. ¿Es W un subespacio de Pn ? 9. Sea W el conjunto de todos...