algebra

DETERMINANTES
A cada matriz cuadrada se le puede asociar un número denominado determinante de la matriz,
el cual informa, entre otras cosas, si la matriz es o no invertible. De hecho, puedenutilizarse los
determinantes para obtener la fórmula de la inversa de una matriz. Los determinantes también
proporcionan un método (llamado regla de Cramer) para resolver sistemas de ecuaciones
lineales.Definición: Sea 𝐴 una matriz cuadrada, el determinante de 𝐴 es un número, que se denota
𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑜 |𝐴| , que se puede calcular a partir de los elementos de 𝐴.
𝑎11
𝐴=[𝑎

21

𝑎12
𝑎22 ]

,𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21

Definición: Consideremos una matriz 𝐴 𝑛×𝑛
Denotemos por 𝑀 𝑖𝑗 la sub-matriz

(𝑛 − 1) cuadrada de 𝐴 que se obtiene suprimiendo su

𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 renglón y su 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 columna.El determinante 𝑑𝑒𝑡(𝑀 𝑖𝑗 ) recibe el nombre
de menor del elemento 𝑎 𝑖𝑗 de 𝐴 .
El cofactor de 𝑎 𝑖𝑗 , denotado por 𝑐 𝑖𝑗 , se define como el menor “con signo”,
𝒄 𝒊𝒋 = (−𝟏) 𝒊+𝒋 𝒅𝒆𝒕(𝑴 𝒊𝒋 )
+ − +− ⋯
− +− + ⋯
[
]
+ − + − ⋯
⋮
Esto es, el cofactor 𝑖𝑗 de 𝐴 , se obtiene tomando el determinante del menor 𝑖𝑗 y multiplicando
𝟏 𝑠𝑖 𝒊 + 𝒋 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
por (−1) 𝑖+𝑗 . Observe que: (−1) 𝑖+𝑗 = {
−𝟏 𝑠𝑖 𝒊 + 𝒋 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑀 𝑖𝑗 Denota una matriz
𝑐 𝑖𝑗 Denota un escalar
2 3
Ejemplo: Sea 𝐴 = [5 6
8 9
El menor 𝑀22 = [

2 4
]
8 1

El menor 𝑀31 = [

4
7]
1

3 4
]
6 7

2
El cofactor 𝑐23 es: 𝑐23 =(−1)2+3 |
8

NOTAS DE ELIZABETH FELIX MENDIVIL

3
| = (−1)(18 − 24) = (−1)(−6) = 6
9

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5
El cofactor 𝑐12 = (−1)1+2 |
8

7
| = (−1)(5 − 56) = (−1)(−51) = 51
1

𝒂 𝟏𝟏
Sea 𝐴3×3 , 𝐴 =[ 𝑎21
𝑎31
el primer renglón es:

𝒂 𝟏𝟑
𝑎23 ] el determinante de 𝐴 desarrollado por cofactores usando
𝑎33

𝒂 𝟏𝟐
𝑎22
𝑎32

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝒂 𝟏𝟏 𝑐11 + 𝒂 𝟏𝟐 𝑐12 + 𝒂 𝟏𝟑 𝑐13
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎11 ((−1)1+1𝑑𝑒𝑡(𝑀11 )) + 𝑎12 ((−1)1+2 𝑑𝑒𝑡(𝑀12 )) + 𝑎13 ((−1)1+3 𝑑𝑒𝑡(𝑀13 ))
𝑎22
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎11 ((−1)2 | 𝑎
32

𝑎23
𝑎21
|) + 𝑎12 ((−1)3 | 𝑎
𝑎33
31

𝑎23
𝑎21
|) + 𝑎13 ((−1)4 | 𝑎
𝑎33
31

𝑎22
𝑎32...