algebra

Unidad: Otay
Maestro: Nava
Materia: Algebra lineal I
Alumno: Ortega Mancilla Yunuen Araluz 13211090
Trabajo: investigación sobre las transformaciones lineales
Fecha de entrega: viernes 23 de mayo de 2014

1

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para
convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructuraadicional, al saber, sus elementos se
pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que
preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el
presente capitulo (que es el resultado de la investigación llevada a cabo por su servidora) las
estudiaremos.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen seanespacios
vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con
mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran
variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la
física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Como el tema en general de lastrasformaciones lineales es demasiado extenso, en este trabajo
solo se hablara sobre: su definición, su clasificación, su núcleo e imagen, y finalmente se
detallara una de las aplicaciones: la reflexión.

2

Índice:
Portada…………………………………………………………………………………..1
Introducción……………………………………………………………………………..2
Índice…………………………………………………………………………………….3
Transformaciones lineales………………………………………………………………4Clasificación de las transformaciones lineales…………………………………………6
Núcleo e imagen………………………………………………………………………..6
Reflexión………………………………………………………………………………..9
Bibliografía……………………………………………………………………………..12

3

TRANSFORMACIONES LINEALES
Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones
continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otrointeresan aquellas que
poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que
la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de
espacio vectorial.
En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W)
se dice una transformación lineal si,para todo a, b Î V,
k Î K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:
T (a + b) = T (a) + T (b)
T (k a) = k T (a)
Que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se
llama codominio de T.

EJEMPLOS:
Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal lasiguiente transformación:
T: R2 ® R3 / " x Î R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)
Se deben verificar las dos condiciones de la definición:
a) ¿ " x, y Î R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
= (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 + y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T(y)
b) ¿ " x Î R2, " k Î R : T (k x) = k T (x) ?
T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) =
= k (x1 + x2, x1 - x2, x2) =

4

= k T (x)
Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal.
Ejemplo 2. Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î R2 : T ((x1, x2)) = (x2,
x1 + 2)
Se deben verificar lasdos condiciones de la definición:
a) ¿ " x, y Î R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2)
T (x) + T (y) = (x2, x1 + 2) + (y2, y1 + 2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 4)
T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x2 + y2, x1 + y1 + 2) ¹ T (x) + T (y)
No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.
Ejemplo 3. Analicemos ahora si T es lineal,...