algebra

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMA
BARCELONA – ESTADO ANZOATEGUI



ALGEBRA LINEAL





Profesor: Estudiante:
Ing. Joanna Cardona.Escalona Liliana.
C.I 19.144.413.








Barcelona, julio, 2012.Introducción

Las
Las Transformaciones lineales Intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra Se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximarlocalmente funciones.

La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan elconjunto de oportunidades pueden ser no lineales.
Transformaciones lineales

Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1.
2. donde k es un escalar.

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Setrata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.


Sean V y W espacios vectoriales sobre R. Una transformación
Lineal de V en W es una función de V en W tal que

T(cx + y) = cT (x) + T(y)

Para todos los vectores de y todo escalar de R.


Las
transformaciones lineales
intervienen en muchassituacionesen Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes.En
Geometría
modelan las simetrías de un objeto, en
Algebra
sepueden usar para representar ecuaciones, en
Análisis
sirven paraaproximar localmente funciones, por ejemplo.
U, V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.
T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:
1. ∀u1, u2 ∈ U,T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2)
2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λt(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y
(V,+).

Cualquier función T : Rn → Rm, X → AX, es lineal.

El caso particular, f : R→ R, x → ax, a ∈ Res lineal.

f : R→ R, x → x2, no es lineal.

f : P3(R) → R4, p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 → f (p) = (a0, a1, a2, a3), es
lineal.
Sea V e.v sobre K, V = V1⊕ V2 y sean:

P1 : V → V1, P2 : V → V2
v = v1 + v2 → P1(v) = v1 v = v1 + v2 → P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

Pi: Proyección de V sobre Vi



Propiedades

Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T(0) = 0 ∈ V

2 T(−u) = −T(u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U
T(λ1u1 + λ2u2) = λ1T(u1) + λ2T(u2)



Isomorfismo

Sea T : U → V unatransformación lineal, diremos que es un isomorfismo
si T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V, en cuyo caso lo
denotaremos como

U ∼=V.










Ejemplo

Consideremos:


f : U → K n

u → f (u) = α = (α1, ..., αn)
.
Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.
Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que...