algebra

Universidad del Zulia
Facultad Experimental de Ciencias
Licenciatura en Matem´tica
a

Optimizaci´n (Asignaci´n No.1)
o
o
Preparaci´n para el Test No.1: El primer Test del curso cubrir´ todoel cap´
o
a
ıtulo 6,
excepto las secci´n 6.6. Adem´s, debe estudiar tambi´n para el examen el cap´
o
a
e
ıtulo 7,
hasta la secci´n 7.6, excepto la secci´n 7.4. Queda impl´
o
o
ıcita lasuposici´n del manejo
o
de las herramientas de ´lgebra lineal que se indicaron como prerequisito en las pr´cticas
a
a
con Matlab proporcionadas al comienzo del curso, adem´s de los conocimientosb´sicos
a
a
del c´lculo diferencial vectorial incluido en el tema sobre las condiciones necesarias y
a
suficientes. El uso de las funciones fminsearch y fminunc tambi´n ser´ examinado.
e
aProyecto No. 1
• Para cada una de las siguientes funciones sin restricciones, determine sus m´
ınimos locales
o globales, m´ximos locales o globales, o cuando no posean ninguno de los anteriores.
a
a) f(x, y, z) = 2x2 + xy + y 2 + yz + z 2 − 6x − 7y − 8z + 9
b) f (x, y) = x2 − 4xy + y 3 + 4y
c) f (x, y) = xe(−x

2 −y 2 )

• Para aproximar una funci´n g : [0, 1] → R por un polinomio p de gradon (o menor),
o
minimizamos seg´n el criterio
u
1

[g(x) − p(x)]2 dx

f (a) =
0

donde p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 . Encuentre las ecuaciones satisfechas por los
coeficientes´ptimos a = (a0 , a1 , . . . , an ).
o
• Sea C ⊂ Rn convexo. Demuestre que la funci´n distancia definida por
o
d(x, C) := inf{ x − y : y ∈ C}
es una funci´n convexa sobre C.
o
• Demuestre que laintersecci´n de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
o
• Pruebe que f : Rn → R es convexa si y solamente si el ep´grafo de f
ı
{(x, y) ∈ Rn × R : y ≥ f (x)}
es un conjunto convexo.
•Utilizando el ambiente function, editar programas en Matlab que implementen los
siguientes m´todos de minimizaci´n unidimensional:
e
o
(a) Newton
(b) Posici´n falsa
o

(c) Ajuste cuadr´tico o...