algebra

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL I
FASCÍCULO 2. LA FUNCIÓN DERIVADA

Autores: José Luis Alaníz Miranda
Rosa María Espejel Mendoza
Mario Luis Flores Fuentes
Alberto Luque Luna
Ángel Martínez Jiménez

2

Í N D I C E

INTRODUCCIÓN

7

CAPÍTULO 1. LA FUNCIÓN DERIVADA

9

PROPÓSITO

11

1.1 LA DERIVADA

13

1.1.1 Concepto de Derivada
1.1.2Notación de la Derivada

1.2 TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
1.2.1 Derivación de Funciones Algebraicas
1.2.2 Regla de la Cadena
1.2.3 Derivadas Sucesivas o de Orden Superior
1.2.4 Derivadas de Funciones Implícitas
1.2.5 Derivadas de Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
1.2.6 Derivadas de Funciones Trigonométricas
Directas y Recíprocas
1.2.7 Derivadas de Funciones Trigonométricas
Inversas

17
2930
30
42
44
49
52
58
63

RECAPITULACIÓN

73

ACTIVIDADES INTEGRALES

74

AUTOEVALUACIÓN

75

3

CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA DERIVADA

77

PROPÓSITO

79

2.1 ANÁLISIS Y TRAZO DE CURVAS

81

2.1.1 Estudio de la Variación de una Función
a) Tabulación y Graficación de una Función
b) Dominio y Rango de una Función
2.1.2 Intersecciones con los Ejes Coordenadosa) Ceros de la Función
b) Intervalos para los que la Función es Positiva
c) Intervalos para los que la Función es Negativa
2.1.3 Máximos y Mínimos de una Función
a) Intervalos para los que la Función es Creciente
b) Intervalos para los que la Función es
Decreciente
c) Criterio de la Primera Derivada para la
Obtención de Máximos y Mínimos de una
Función
2.1.4 Puntos de Inflexión
a)Criterio de la Segunda Derivada para la
Obtención de los Puntos de Inflexión
b) Concavidad y Convexidad

81
81
85
87
89
90
91
93
95
95
98

104
105
106

2.2 ECUACIONES DE LAS RECTAS
TANGENTE Y NORMAL

109

2.3 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y
RAZÓN DE CAMBIO

112

RECAPITULACIÓN

127

ACTIVIDADES INTEGRALES

128

AUTOEVALUACIÓN

1304

131

CAPÍTULO 3. LÍMITES
PROPÓSITO

133

3.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

135

3.1.1 Límites por la Derecha y por la Izquierda
3.1.2 Límite de una Función f(x) Cuando la Variable
independiente “x” Tiende a un Número real “a”
(x → a)
3.1.3 Casos en los que el Límite no Existe

3.2 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
3.2.1 Función Continua
3.2.2 Técnicas Algebraicas para Calcular Límitesa) Límites de Funciones Polinomiales
b) Límites de Funciones Racionales
c) Propiedades de los Límites
3.2.3 Los Límites y el Infinito
a) Funciones que Crecen o Decrecen sin Cota
b) Asíntotas Verticales
c) Límite de una Función Cuando la Variable
Independiente Tiende a Infinito
d) Asíntotas Horizontales
e) Límites de Algunas Funciones Trascendentes

135
139

147
151
153
158
158164
171
179
179
181
183
184
187

RECAPITULACIÓN

196

ACTIVIDADES INTEGRALES

200

AUTOEVALUACIÓN

202

RECAPITULACIÓN GENERAL
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
AUTOEVALUACIÓN
ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
5

204
205
208
210
212

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INTRODUCCIÓN

El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo
XVIIpara resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar una
recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar
racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo,
velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del
Cálculo.
Sobresalieron entre sus iniciadores John Wallis,profesor de la Universidad de Oxford e
Isaac Barrow, profesor de Newton en la Universidad de Cambridge, Inglaterra. Pero un
método general de diferenciación e integración fue descubierto solo hacia 1665 por el
Inglés Isaac Newton y posteriormente por Gottfried Wilhelm Von Leibniz, nacido en
Leipziy, Alemania, por lo que a ellos se les atribuye la invención del Cálculo.
En la actualidad el...