algebra

Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Ingenier´ Civil
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Soluci´n Examen 1 de Algebra1
o
Profesor Ricardo Santander Baeza
21 de Diciembre del 2009
Solsticiode verano
(1) Sea V un R espacio vectorial y considere α = {v1 , v2 , v3 } ⊂ V y β = {v1 + 2v2 , v1 − 3v3 , v1 − 2v2 + 3v3 } ⊂ V. Demuestre
que

α base de V =⇒ β es tambi´n una base de V
eSoluci´n
o
(a) Como α es una base de V entonces dimR (V) = 3 y entonces para que β sea base, basta que sea linealmente independiente o un sistema de generadores para V, ya que la cardinalidad o el n´mero de vectores de β es 3,
u
(b) As´ que, verifiquemos si se cumple la independencia lineal V
ı

a1 (v1 + 2v2 ) + a2 (v1 − 3v3 ) + a3 (v1 − 2v2 + 3v3 ) = 0V

=⇒ (a1 + a2 + a3 )v1 + (2a1 − 2a3 )v2+ (−3a2 + 3a3 )v3 = 0V
a1 + a2 + a3 = 0
2a1 − 2a3
= 0 =⇒ a2 = a3 = a1 ∧ 3a1 = 0
=⇒
−3a2 + 3a3 = 0
=⇒ a1 = a2 = a3 = 0

Luego, β es linealmente independiente y entonces una base de V.
(2) SiT : MR (1×3) −→ R2 [x] tal que T

a

b c

= (a+b+c)+(a−b)x+cx2 entonces demuestre que T es un isomorfismo.

Soluci´n
o
En primer lugar mostramos que T ∈ (MR (1 × 3), R2 [x]).
Si A = a1

a2a3 ∈ MR (3 × 1) y B = b1

b2

b3 ∈ MR (3 × 1) y λ ∈ R entonces

(a) Por demostrar que T (A + B) = T (A) + T (B)

T (A + B)

= T a1 + b 1

a2 + b 2

a3 + b 3

= (a1 + b1 + a2 + b2 +a3 + b3 ) + (a1 + b1 − (a2 + b2 ))x + (a3 + b3 )x2
= (a1 + a2 + a3 ) + (b1 + b2 + b3 ) + (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ))x + (a3 + b3 )x2
= (a1 + a2 + a3 ) + (a1 − a2 )x + a3 x2 + (b1 + b2 + b3 ) + (b1 −b2 ))x + b3 x2
= T a1 a2 a3 + T b 1 b 2 b 3
= T (A) + T (B)

1Cada problema vale 1.5 puntos

Tiempo 120’
1

2

(b) Por demostrar que T (λA) = λT (A)
T (λA) =

T λa1

λa2

λa3

=(λa1 + λa2 + λa3 ) + (λa1 − λa2 )x + λa3 x2

=

λ(a1 + a2 + a3 ) + λ(a1 − a2 )x + λa3 x2

=
=

λ((a1 + a2 + a3 ) + (a1 − a2 )x + a3 x2 )
λT a1 a2 a3

=

λT (A)

En segundo lugar, si...