algebra
Páginas: 3 (543 palabras)
Publicado: 27 de julio de 2014
Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)
Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )
Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es latransformación T de
en que gira cada vector
un ángulo , para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas,tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que
y
tenemos que:
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación
tal queEsta transformación se llama la rotación por un ángulo
y es lineal, ya que:
Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como estádefinida la transformación T de en que cada vector
lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, lasituación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, yes lineal, ya que:
Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que a cada vectorlo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector
. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
También este caso es sencillo, pues es obvio que T quedadefinida como sigue:
Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de ÁlgebraLineal. Consideremos el siguiente subespacio de
:
Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien,
tiene un complemento directo, a saber,...
Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo )
Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es latransformación T de
en que gira cada vector
un ángulo , para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
Si usamos las funciones trigonométricas,tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que
y
tenemos que:
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación
tal queEsta transformación se llama la rotación por un ángulo
y es lineal, ya que:
Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como estádefinida la transformación T de en que cada vector
lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, lasituación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, yes lineal, ya que:
Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)
En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en que a cada vectorlo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector
. En una gráfica, vemos la situación como sigue:
También este caso es sencillo, pues es obvio que T quedadefinida como sigue:
Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:
Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de ÁlgebraLineal. Consideremos el siguiente subespacio de
:
Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien,
tiene un complemento directo, a saber,...
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