Algebra

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona









Transformaciónlineal







Barcelona, Agosto 2014
Introducción
Se denomina transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio o condominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar kperteneciente a k, se satisface que:
1. T(u+v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar
Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y V tengandimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es, se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T será siempre 0.














Transformaciónlineal
Una transformación lineal es una función entre los espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Para señalar una transformación lineal se utilizaf(v)= W, donde “v” u “w” son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo.
Teoremas de la transformación lineal
1.  Si  T : V  W es una transformación lineal, entonces V esdimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,
dim(V) = nulidad(T) + rango(T).

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos
L(V, W) = {T: V ® W | T es una transformación lineal}.
Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformaciónlineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.
Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un...