Algebra

ades
Desigualdades
Definiciones:
Si [pic] y [pic] son números reales, entonces
[pic] ([pic] es mayor que [pic]), si y solo si [pic] es positivo, (en otras palabras [pic] es mayor que [pic] si y solo si [pic] se encuentra a la derecha de [pic]).
[pic] ([pic] es menor que [pic]), si y solo si [pic] es negativo; esto es [pic] es positivo, (en otras palabras [pic] es menor que [pic] si y solo si[pic] se encuentra a la izquierda de [pic].
Ley de Tricotomía:
Dado un par de números reales [pic] y [pic], una y solamente una de las proposiciones siguientes es verdadera:
1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

Propiedades de las desigualdades:
1. Propiedad Transitiva

Sean [pic], [pic] y [pic] en [pic]: Si [pic] y [pic] entonces [pic].
Ejemplo: Dado que [pic] y [pic], entonces[pic]
2. Propiedad de Suma

Sean [pic], [pic] y [pic] en [pic]: Si [pic], entonces [pic].
Ejemplo: Si [pic] entonces [pic] [pic] [pic]
3. Propiedad Multiplicación por un número positivo

Si [pic] y [pic], entonces[pic].
Ejemplo: [pic], entonces [pic] [pic] [pic]
4. Sean [pic], [pic], [pic] y [pic] en [pic]: Si [pic] y [pic] entonces [pic].

Ejemplo: [pic] y [pic], entonces[pic] [pic] [pic]
Las propiedades 1 a 4 también son validadas al sustituir [pic] por [pic], [pic] y [pic].
Ejercicio: construya un ejemplo de cada propiedad para cada una de las desigualdades [pic], [pic] y [pic].
5. Para cada [pic] en [pic]: [pic] si, y solamente si [pic].

6. Si [pic], [pic] en [pic]: [pic] si, y solamente si [pic] (esto es al cambiar el signo a ambos miembros de unadesigualdad se cambia el sentido de la desigualdad).

7. Si [pic] y [pic] entonces [pic] (esto es si multiplicamos por un número negativo ambos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido)

8. Si [pic]: entonces [pic]

9. [pic] si , y solamente si , [pic]

10. Si [pic] y [pic], entonces [pic]

11. Si [pic] y [pic], entonces [pic], (esto es si multiplicamos por unnúmero negativo ambos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido)

12. Si [pic] y [pic], entonces [pic], (esto es si multiplicamos por un número negativo ambos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido)


Inecuaciones Lineales
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la incógnita es [pic], se dice que la inecuación es lineal.Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de valores de la incógnita para los cuales es cierta la desigualdad. La solución de una inecuación, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales.
El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades. Usualmente se representa lasolución de de una inecuación mediante una gráfica, si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un circulo en negrita; en cambio, si la solución no incluye al extremo, lo representamos mediante un circulo blanco (sin relleno).
Ejemplo 1):
Resuelva la siguiente inecuación: [pic]
Respuesta
[pic] [pic] [pic] (Transponiendo términos propiedad 2),obtenemos [pic] simplificando (dividiendo entre [pic]) obtenemos [pic] como solución.
En notación de intervalos, [pic] es [pic]: esto es todos los valores reales mayores que [pic], la representación gráfica es:
Crear la representación gráfica
Ejemplo 2)
Calcule el conjunto de valores reales que satisface la siguiente inecuación.
[pic]
Efectuando operaciones encontramos:
[pic]
[pic]
[pic][pic]
En notación de intervalos, [pic] es [pic]: esto es todos los valores reales menores o iguales que [pic], la representación gráfica es:
Crear la representación gráfica
Ejemplo 3)
[pic]
Efectuando operaciones encontramos:
[pic]; [pic]; [pic];
[pic]; [pic]; [pic]; [pic].
En notación de intervalos, [pic] es [pic]: esto es todos los valores reales mayores o iguales que [pic], la...