Algebra

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Tema: La catenaria
Objetivos:
* Reconocer todos los elementos y verificar las características de este tipo de funciones
* Comprender las diferentes partes que componen al sistema de funciones hiperbólicas

INTRODUCCIÓN

La catenaria es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida ´únicamente a la fuerza de lagravedad. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos (x0, y0), (x1, y1) y por su longitud L. En principio, tambiénpodría depender de su densidad ρ y de la intensidad del campo gravitatorio g, pero lo cierto es que, según veremos, no es así.
Por ejemplo, la figura muestra la catenaria de longitud L =2 sujeta por los puntos (0,1) y (1, 1). Vemos que se parece mucho a una parábola. De hecho, Galileo creyo que las catenarias eran parábolas,pero veremos que no lo son. En primer lugar vamos a encontrar la expresión analítica de las catenarias.

Marco teórico
Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevarla corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.
La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que elproblema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.
 
Formulación discreta
Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay Nbolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, lafuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.
La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.
Tx=Tcosq0= Tcosqi= Tcosqi+1 =TcosqN+1
Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo q i y el ángulo q i+1

A la cantidad constante cocienteentre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro g . La relación de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.
tanq1=tanq0-g 
tanq2=tanq1-g 
tanq3=tanq2-g 
...............
tanqi=tanqi-1-g 
.............
tanqN-1=tanqN-2-g 
tanqN=tanqN-1-g
Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo qN en función del ángulo inicial q0.tanqN=tanq0-Ng
Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que
tanq0=- tanqN
Por tanto,
tanq0=Ng /2
Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo qi en función del ángulo inicial q0.
tanqi=tanq0-g i=(N-2i)·g /2
El ángulo qi que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, elángulo inicial q0 y el final qN se calculan mediante la siguiente fórmula

Las coordenadas (xi, yi) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones d·cosq j y d·senq j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)
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Catenaria simétrica
Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos queestán situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sear la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:
* el peso,
* la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento,
* la fuerza que ejerce la parte...