algebra

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Elementos de Algebra
L´gica, Conjuntos, Relaciones, Funciones
o
y algo m´s...
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Dr. Carlos Lizama
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Facultad de Ciencias
Universidad de Santiago de Chile

Prefacio
Este texto de estudio est´ dirigido a estudiantes de primer ciclo de ense a
nanza en la Universidad de Santiago de Chile. En ´l se abordan los aspectos
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b´sicos de matem´tica,como son sus fundamentos axiom´ticos a partir de
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la l´gica y la teor´ de conjuntos. Se han escrito los primeros cap´
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ıtulos de
este libro en la convicci´n que una buena base formativa en el primer a˜o de
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ense˜anza universitaria son fundamentales para el buen avance y progreso
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del estudiante en su trayecto en la universidad. De esta manera se aborda
desde un principiola idea de la demostraci´n o prueba matem´tica pero
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de una manera simple y gradual, avanzando hacia formas m´s abstractas
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hacia el final del segundo cap´
ıtulo. En el tercer cap´
ıtulo se aborda un cl´sico
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tema: Inducci´n Matem´tica. Se espera que con una buena comprensi´n y
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ejercitaci´n de los contenidos previos, el estudiante pueda abordar este t´pico
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con menorgrado de dificultad que el que tradicionalmente ocurre.
Los cap´
ıtulos siguientes son una elecci´n arbitraria del autor. Se preo
tende cubrir materias que requieren de un manejo fluido y que son el m´
ınimo
necesario para tratar de asegurar el ´xito posterior del estudiante. Es com´n
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encontrar j´venes con falencias cuya causal es motivo de discusi´n y preocuo
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paci´n en diversosestamentos. Sin embargo el objetivo aqu´ es ocuparse del
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problema, e intentar dar los elementos para resolverlo. Para ello, el cuarto y quinto cap´
ıtulos comienzan abordando conceptos b´sicos de geometr´
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anal´
ıtica. La idea de gr´fico, recta y funciones cuadr´ticas son cubiertos
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con gran detalle. El sexto cap´
ıtulo cubre el material de funci´n exponeno
cial y logaritmo. Escom´n encontrar fallas en el estudiante cuando ocupa
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propiedades b´sicas de estas funciones que son fundamentales en ´lgebra y
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c´lculo avanzado. Sin embargo un adecuado estudio mediante la visualizaci´n
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gr´fica y, a partir de ello, el estudio de sus principales propiedades subsana
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notablemente el problema. Finalmente, el s´ptimo cap´
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ıtulo introduce la no2

ci´n desistemas de ecuaciones y matrices, a fin de preparar el camino para
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un curso posterior sobre teor´ de matrices y ´lgebra lineal.
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No es f´cil escribir un texto de matem´tica a nivel elemental cuando ya
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se han escrito muchos y de muy buena calidad. Es factible, sin embargo,
reorganizar el material ya existente en un texto que est´ orientado a las
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condiciones particulares de losestudiantes de una universidad o de un programa particular. Esto es precisamente lo que se ha pretendido hacer de
estos apuntes.
El autor agradece desde ya a aquellos lectores que puedan contribuir a
la mejor´ de estos apuntes y a la ense˜anza de la matem´tica mediante sus
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opiniones y sugerencias.
Especiales agradecimientos a Maricel C´ceres, quien escribi´ en Latex, en
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tiempor´cord y con mucha dedicaci´n y paciencia el material de este texto.
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Dr. Carlos Lizama

Santiago, 2002.

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Indice General
1 L´gica
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1.1

Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Implicaci´n y Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
o

1.3

Tautolog´
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16

1.4

Argumentos y el principio de demostraci´n . . . . . . . . . . . 18
o

1.5

Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6

M´todos de Demostraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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1.7

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Conjuntos, Relaciones y Funciones

36

2.1

Conjuntos ....