algebra

´
Indice general
Cap´
ıtulo 1. Nociones de l´gica y conjuntos
o
1. Proposiciones
2. Conectivos L´gicos
o
3. Proposiciones compuestas
´
4. Algebra de proposiciones
5. Nociones conjuntistas
6. Algebra en el conjunto de partes
7. M´todos de demostraci´n
e
o

3
4
7
10
11
16
24
27

Cap´
ıtulo 2. N´meros Reales
u
1. Inducci´n Matem´tica
o
a
2. Sucesiones
3. L´
ımite deuna Sucesi´n
o
4. Construcci´n de R
o

37
37
41
48
57

1

Cap´
ıtulo 1

Nociones de l´gica y conjuntos
o
El conocimiento cient´
ıfico es un proceso de modelaci´n del mundo real que
o
alcanza mayores niveles de precisi´n y exactitud cuando los modelos que se conso
truyen son de naturaleza matem´tica, esto se debe a que una de las principales
a
caracter´
ısticas de estosmodelos es la facilidad para hacer deduccciones. Las matem´ticas siguen en general un modelo deductivo de razonamiento, esto es, desde
a
una colecci´n inicial de verdades se van obteniendo, mediante reglas correctas de
o
deducci´n, nuevas verdades. Es precisamente en este punto donde los conocimieno
tos de la l´gica entran en acci´n debido a que la l´gica tiene por objeto el estudio
o
o
osistem´tico de las condiciones generales de validez de las deducciones. Para coma
prender un poco mejor el papel de la l´gica es necesario precisar en forma general
o
como se construyen o establecen las teor´ matem´ticas.
ıas
a
Para establecer una teor´ matem´tica se debe partir con diversos elementos:
ıa
a
Nociones primitivas y Axiomas. Las nociones primitivas son dadas a priori, estasnociones no se siguen de otras o se deducen, porque ellas son las primeras. Son elaboradas por abstracci´n a partir de nociones intuitivas. Por ejemplo, de la noci´n
o
o
intuitiva de colecci´n nace la noci´n primitiva de conjunto con t´rminos primitivos
o
o
e
como elemento y pertenencia; la igualdad es considerada en muchas teor´ como
ıas
un t´rmino primitivo. Las nociones derivadas sonlos ensamblajes de t´rminos prie
e
mitivos mientras que las expresiones matem´ticas son los ensamblajes que tienen
a
significado en la teor´ No todos los ensamblajes de t´rminos primitivos son permiıa.
e
tidos y la teor´ da las reglas que permiten decidir si lo es o no. Los axiomas son las
ıa
reglas que describen los modos de empleo de los t´rminos primitivos para formar
e
t´rminosderivados y expresiones matem´ticas. Por ejemplo, en cualquier teor´ la
e
a
ıa
igualdad satisface los siguientes axiomas:
Cualquiera que sea el objeto matem´tico a: a = a.
a
Cualesquiera que sean los objetos a y b: Si a = b entonces b = a.
Cualesquiera que sean los objetos matem´ticos a, b y c: Si a = b y b = c
a
entonces a = c.
Los axiomas se formulan a partir de las propiedades de losobjetos del mundo
real que est´n representando e incluso a partir de las propiedades que estos deber´
a
ıan
tener. Los axiomas deben tener ciertas caracter´
ısticas: deben ser compatibles, esto
significa que de ellos no se puede deducir expresiones que sean simultaneamente
verdaderas y falsas; deben ser independientes, en el sentido de que ning´n axioma
u
debe ser deducido del resto y finalmentedeben ser suficientes en el sentido que toda
propiedad que se entienda que deben satisfacer los objetos debe poder deducirse de
los axiomas.
3

4

´
1. NOCIONES DE LOGICA Y CONJUNTOS

Una vez que se tienen los axiomas, las propiedades verdaderas ( teoremas) se
obtienen mediante deducciones l´gicas (demostraciones) a partir de los axiomas o
o
de otros teoremas previamente demostrados.Los t´rminos primitivos de una teor´ son designados con el nombre de objetos
e
ıa
de la teor´ las teor´ matem´ticas se apoyan y generan no sobre objetos partiıa;
ıas
a
culares si no sobre conjuntos de objetos de los cuales se hacen abstracciones. En
una teor´ se distinguen dos tipos de objetos: Las variables y las constantes. Se
ıa
emplean letras como x, y, z para representar objetos...