algebra

2. Triángulos

Rectas y puntos notables
En un triángulo se definen cuatro tipos de rectas denominadas, genéricamente, rectas notables. Esas rectas son: mediatrices,bisectrices, medianas y alturas. En un triángulo tendremos tres rectas de cada tipo.
Los puntos de intersección de dichas rectas se denominan puntos notables y son, respectivamente: circuncentro, incentro,baricentro y ortocentro.• mediatrices, se cortan en el circuncentro
• bisectrices, se cortan en el incentro
• medianas, se cortan en el baricentro
• alturas, se cortan en el ortocentro


[editar] Recta de Euler
La recta definida por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo  se llama recta de Euler. La recta de Euler contiene también al baricentro y al centro de la circunferencia de Feuerbach, .
Ladistancia entre el baricentro y el circuncentro es la mitad de la distancia entre el baricentro y el ortocentro: .
El centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio de , segmento definido por el circuncentro y el ortocentro.

[editar] Propiedad de las mediatrices y las bisectrices
Sea un triángulo . La bisectriz de cada ángulo se corta con la mediatriz del lado opuesto en un punto de lacircunferencia circunscrita.

Puntos y rectas notables de los triángulos
     
 
Tabla de contenidos
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1 Puntos y rectas notables de los triángulos
1.1 Las mediatrices
1.2 Las medianas
1.3 Las alturas
1.4 Las bisectrices
2 Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos
2.1 Suma de vectores
2.2 Triángulo órtico y circunferencia de Feuerbach
2.3 Rectade Simson
2.4 Recta de Euler
2.5 Propiedad de las mediatrices y las bisectrices
2.6 Circunferencia exinscritas y exincentros de un triángulo
2.7 Teorema de Feuerbach
[editar] Puntos y rectas notables de los triángulos
Las rectas y puntos notables de un triángulo  son:
las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro  ,centro de la circunferencia circunscrita al triángulo;las medianas, , que se cortan en el baricentro, , centro de gravedad del triángulo;
las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
las alturas, , que se cortan en el ortocentro, .

[editar] Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro seráinterior al triángulo.



En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.


En el caso de un triángulo obtusángulo, el circuncentro es exterior al triángulo.

[editar] Las medianas
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad deltriángulo.

Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo  obtenemos el triángulo  que tiene el mismo baricentro que  y sus medianas miden la mitad que las de .
Además los lados de  miden la mitad que los lados de  y la superficie de  es la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar  se han definido otros tres triángulos iguales: .

Consideramos una mediana .Si  es el baricentro se cumple que .
Se cumple también que si se dibuja , la mediana de la mediana , ésta corta al lado  siendo: .

[editar] Las alturas
Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.

En el caso de un triángulo obtusángulo, el ortocentro es exterior al triángulo.

En el caso deltriángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

[editar] Las bisectrices
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo  se cortan en un punto llamado incentro que siempre es interior al triángulo. Como elincentro  pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a .
Para dibujar dicha...