ALGEBRA

Tema 1 Álgebra Lineal

Matemáticas

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL
1- VECTORES DE ℝ n
Definición 1
ℝ n = { ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) / x 1 , x 2 , . . . , x n ∈ ℝ } (n-tuplas de nos reales ordenadas)
Definimos en este conjunto 2 operaciones:
Suma (+)
Para cualesquiera 2 elementos, ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) de ℝ n(x1,x2,...,xn)+(y1,y2,...,yn)=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn)
Producto por un escalar ( . ℝ )
λ.( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ( λ x 1 , λ x 2 , . . . , λ x n )
El conjunto ℝ n con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial y
por ello sus elementos pueden ser llamados vectores.
Definición 2
El vector v ∈ ℝ n se dice que es combinación lineal de los vectores v1,v2,....,vr
si existen escalares (números reales) c1,c2,....,cr talque v = c1v1+c2v2+......+crvr.
Ejemplo. En ℝ n el vector (5,13,2) es combinación lineal de los vectores (2,1,2) y
(1,4,0) pues existen los dos números: 1 y 3 tales que (5,13,2) =1.(2,1,2) +3.(1,4,0), por
lo tanto el primer vector es combinación lineal de los otros dos.
Definición 3
n

Los vectores v1,v2,....,vr ∈ ℝ se dicen linealmente independientes (l.i.) ( o
bien, que la familia devectores{ v1,v2,....,vr } es libre) si cualquier combinación lineal
de ellos igualada a “0” obliga a que todos los escalares sean cero, es decir
Si c1 v1+c2 v2+......+cr vr = 0 (vector nulo de ℝ n)

⇒

c1 = c2=.....= cr =0

Si la familia de vectores no es libre, se dice que los vectores v1,v2,....,vr son
linealmente dependientes o que la familia { v1,v2,....,vr } es ligada.
Ejemplo. Losvectores (1,2) y (2,5) de ℝ 2 son linealmente independientes, pues si
existen dos escalares c1 y c2 tales que c1.(1,2) + c2.(2,5)=(0, 0) (el "0" de ℝ 2) implica

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⎧ c1 + 2c 2 = 0
que (c1+2c2,2c1+5c2)=(0,0) luego ⎨
. Resolviendo este sistema se obtiene
⎩2c1 + 5c 2 = 0
que c1 = c2 = 0. Por lo tanto son linealmente independientes. Sin embargo no lo sonlos
vectores (1,2) y (2,4).

Propiedades
i) Si una familia de vectores es libre ningún vector de ésta se puede poner como
combinación lineal de los demás.
ii) Cualquier familia de vectores que contenga al vector nulo no es libre.
iii) Si S es una familia libre de vectores entonces cualquier subfamilia de S también lo
es.
iv) En ℝ n, los n vectores
⎧ (a 11 , a 12 ,......., a 1n )
⎪ (0, a,......., a )
22
2n
⎪
⎪(0, 0, a 33 ,..., a 3n )
⎪
(*) ⎨
con aij∈ℝ
y aii ≠ 0, son linealmente
.............................
⎪
⎪ .............................
⎪
⎪
⎩(0, 0, 0,... , a nn )
independientes. Por iii), cualquier subfamilia de esa familia también es libre.

Ejemplo. En ℝ 4 la familia de vectores { (1,2,4,5), (0,2,0,1), (0,0,3,1), (0,0,0,4)} es
libre. Pero también lo son porejemplo sus subfamilias: { (1,2,4,5), (0,2,0,1), (0,0,0,4)}
o { (0,0,3,1), (0,0,0,4)}.
La ventaja de la familia anterior (*) es que si los vectores son de ese tipo, resulta
sencillo ver que son linealmente independientes.
2- MATRICES DE NÚMEROS REALES
Una matriz A de números reales de orden (n x m) es una colección de números
reales dispuestos en “n” filas y “m” columnas de la forma
⎛ a11a12 a13 ..............a1m ⎞
⎟
⎜
⎜ a 21 a 22 a 23 ..............a 2 m ⎟
⎜ a a a ..............a ⎟
3m
⎟.
A= ⎜ 31 32 33
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎜ −−−−−−−−−− ⎟
⎟
⎜
⎜ a a a ..............a ⎟
nm ⎠
⎝ n1 n 2 n 3

Notación: A = (aij) ∈Mnxm.

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Definición 4
•

Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada. Notación: A∈Mn

•

Dada A ∈Mn, se dice quees triangular superior si aij = 0 ∀ i > j.
- se dice que es triangular inferior si aij = 0 ∀i < j.
- se dice que es diagonal si aij = 0 ∀ i≠j.
- se dice que es escalar si es una matriz diagonal tal que aii = t ∀ i.
Si t = 1 entonces se le llama matriz identidad o unidad.
Notación: In.

•

Una matriz de orden (1 x m) se le llama Matriz fila.

•

Una matriz de orden (n x 1) se le...