Algebra

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Proemio
Este texto trata con cierto detalle aspectos elementales del estudio de la Matemática, con un propósito definido. (Usaremos indistintamente los vocablos Matemática, que alude a la unidad de la disciplina, y Matemáticas, que señala la diversidad de sus áreas). Se ha procurado incluir en él observaciones que alimentan la reflexión acerca de la presencia de esta ciencia en el mundocontemporáneo, de un modo distinto a la referencia habitualmente superficial a ciencia, tecnología, negocios. El punto de vista que asumiremos es el de la Matemática como disciplina independiente, sin preocuparnos de su utilidad eventual. Ello no significa desaprecio por las ingentes aplicaciones de la Matemática, según se aclarará más adelante. El apelativo elemental que hemos usado arriba indicaque los tópicos que trataremos corresponden a áreas relevantes, centrales, fundamentales. La exposición contiene repeticiones –lo que, por cierto, es deliberado–. Hay que notar además que una lectura posterior mostrará seguramente aspectos no advertidos en una precedente. Como sucede a menudo, un mismo texto puede ser leído con diferentes grados de compresión. La vaguedad de algunas explicaciones enestas secciones iniciales se debe, al menos en parte, al hecho que con frecuencia el estudiante se hace preguntas –o esbozos de preguntas– cuyas respuestas le son aún inaccesibles, por carecer de un lenguaje apropiado. Los apéndices contienen material para reflexión posterior.

Aproximación primera
El aspecto descriptivo.
Cuando se presenta el lenguaje matemático, no debe entenderse como lasola satisfacción de un prerrequisito; la Matemática formal es en cierto sentido estricto el lenguaje matemático. La presentación se hace, naturalmente, en nuestra lengua, pero debemos estar conscientes de que esto comporta de inmediato alguna dificultad, dado que pueden deslizarse ambigüedades y contradicciones no todas evidentes a primera vista. De tal manera, algunas expresiones en español debentomarse como sugerencia o analogía; cuando necesitemos ser más precisos, usamos el lenguaje que vamos construyendo.

Es por tanto apropiado proceder paulatinamente, manteniendo la imprecisión al mínimo posible. En cualquier caso, para aclarar la conceptuación, y también para dar una idea de la relevancia o posibles ramificaciones de las materias que se va presentando, haremos uso de abundantesejemplos. Es conveniente, sin embargo, que las ilustraciones que provienen de la vida real no tienen el carácter necesario de los propiamente matemáticos. Example Compare las expresiones si llueve entonces mi jardín se moja y si x  2  3 entonces x  1. Se puede imaginar varias circunstancias bajo las cuales la primera afirmación no se cumple (i.e., que llueva y el jardín no se moje) –que estéya regado, que se cayó el muro sobre él– pero ninguna para la segunda. Sin embargo, al comienzo no disponemos de una cantidad apropiada de ejemplos estrictamente matemáticos, o bien ellos no nos son suficientemente fami- liares, o no disponemos de argumentación apropiada, y usamos los otros a manera de evocación o sugerencia. Proceder así, podría parecer condescendencia –o desconfianza– hacia quienaprende; por el contrario, esta práctica asume que él o ella tienen la capacidad de separar lo intrínseco de lo accesorio. Example La simple pregunta ¿Qué es una máquina de coser? nos ilustra la importancia de realizar esa separación entre lo necesario y lo accidental. Así, y hechas todas estas advertencias, usaremos los ejemplos sin mayor escrúpulo.

Algunas dificultades.
Nuestro objetivo esaprehender los objetos matemáticos y sus relaciones recí- procas; aprender a transitar esta ciencia, dominar su lenguaje. Remark Note que –curiosamente– en cierto modo, dominar el lenguaje significa ser capaz de olvidarlo. Algo análogo ocurre con una persona que aprende alguna actividad ( por ejemplo, hablar un idioma o conducir un automóvil): ella pone sucesivamente menor atención en algunos de...