algebra

Relaciones

Relaciones
1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P(A) x A.

2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A  C y B  D.
Observe que A x B  C x D.
b) Suponiendo que A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente
que A  C y B  D ?. Explique.

3) Sean A = { x  N / 1  x  5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R  A x B
mediante
(x,y) R  x + y  5.
i)Definir R por extensión.

ii) Representar A x B y R.

iii) Determinar R-1.

4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10}
y las relaciones R  A x B ; S  B x C, definidas por :
(x,y)  R  y = x2
y
(y,z)  S  z = y/2
Se pide : i) Determinar R y S por extensión.
ii) Definir la composición S º R  A x C por extensión.
iii)Determinar los dominios eimágenes de las tres relaciones.

5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia.
R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) }
S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) }

en A = { -3, -2, -1, 0 }
en B = { x  N0 / x  3 }

6) Sea A un conjunto de libros. Sea R1 una relación binaria definida en
A /(a,b)  R1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ EsR1
reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?.

7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones
de ceros y unos, tal que :
R = {(a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}.
¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es
relación de equivalencia ? ¿ es relación de orden ?

8) Sea R una relación binariasobre el conjunto de todos los enteros positivos ,
tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ?
¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ?
¿ es una relación de orden ?

9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que
pretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría yde la
transitividad :
xRy  xRy  yRx  xRx

10) a) Determinar si el conjunto P = { A1; A2 } constituye una
partición de Z con A1 = {x  Z : 2  x} y A2 = { x  Z : 2  x }
b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ;
Q = { N; Z- }

11) Dado el conjunto de conjuntos
B = {1, 3}

M = {A, B, C, },

C = {3}

donde A = {1, 2, 3, 4}

Clasificar en M la relación “ ”.

12) Analizar si (N, ) y (N,  ) son láttices.

13) Representar gráficamente las siguientes relaciones :
1
a) f : R  R / f(x) = -5 x
b) g : Zpares  Z / g(x) =
x
2
c) h : N  N / h(x) = 2 x + 3

Conjunto de partes Se escribe P(A)

se lee “partes de A”

y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden
formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjuntovacío
{}=

Sea A { a, b, c }

{a}

•a

{b}

•b

{c}

•c

•b
•c

•a

•b

•c

•b

{a,b}

•c

{a,c}

•b

•a

•a
•a

A

•c

{b,c}

{a, b, c}

entonces el conjuntos de partes de A es:

El número de
elementos que
conforman
P(A) es 2n
donde n = A
A se lee cardinal del
conjunto A y es igual a
la cantidad de
elementos que tiene el
conjunto AP(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}  }

Producto Cartesiano
Dado un conjunto A = { a, b }

y un conjunto B = { 1, 2 }

El producto cartesiano A x B se
forma con todos los pares ordenados
posibles conformados por elementos
del conjunto A en el primer lugar del
par ordenado y elementos del conjunto
B en el segundo lugar del par ordenado

A

B
•a
•b

•1
•2

Ax B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) }
También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados
B
2
1

A x B
(a, 2) (b, 2)
(a, 1) (b, 1)

a

b

A

En el eje de abscisas (x) el conjunto A
En el eje de ordenadas (y) el conjunto B
y los pares ordenados en las intersecciones de
las perpendiculares a cada uno de los ejes, que
pasan por los elementos...