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Álgebra Básica

Algebra Básica

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1. Teoría de conjuntos.
A continuación haremos un estudio intuitivo elemental de la
llamada Teoría de Conjuntos, creación del matemático alemán
Georg Cantor en el siglo XIX en el trabajo titulado «Grundlagen
zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehere».
Al construir una teoría matemática, no es posible definir todos
los conceptosque en ella aparecen y, por lo tanto, tendremos
los llamados conceptos no definidos (de intentar definir todos
los conceptos de una teoría, caeríamos pronto en definiciones
circulares); en la teoría de conjuntos introducimos como
concepto no definido el conjunto, del cual es claro que
poseemos nociones intuitivas tales como: colección,
agrupación, montón de entes u objetos, a los cualesllamaremos elementos del conjunto.
En adelante representaremos los conjuntos por letras latinas
mayúsculas (A, B, C, etc.) y a los entes que formen el conjunto
considerado, los representaremos por letras latinas minúsculas
(a, b, c, etc.)
Cuando queremos indicar que un elemento «a» pertenece a un
conjunto A anotamos:
a∈A
(∈ es el símbolo de pertenencia).
Si queremos indicar que el elemento«a» no pertenece a un
conjunto A,
anotamos:
a∉A
(∉ es el símbolo de no pertenencia).
Sobre las formas de representar conjuntos, usaremos los
siguientes convenios.
1. Si un conjunto está formado por un número finito de
elementos, lo llamaremos «conjunto finito». Ejemplo: El
conjunto de los países de América.
2. Si un conjunto está formado por un número infinito de
elementos, lo llamaremos«conjunto infinito». Ejemplo: El
conjunto de los números naturales.

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Para representar en forma explícita (exhibir) los elementos
de un conjunto, son habituales dos formas:
i) forma enumerativa o tabular:
Todos los elementos que pertenecen al conjunto se escriben
entre llaves y separados por comas o bien se expresan en una
tabla. Así, por ejemplo, si denotamos por A alconjunto de las
vocales, tendremos como representación enumerativa del
mismo:
A = {a, e, i, o, u}
ii) forma descriptiva:
Valiéndonos de las proposiciones podemos representar
conjuntos en la forma:
A = { x | P(x) }
usando la letra «x» como variable que representa a todos
aquellos elementos que hacen la proposición P(x) verdadera.1
Ejemplos:
1. A = { x| x = vocal del alfabeto latino }
esdecir:
A = { a, e, i, o, u }
2. B = { y | y = color primario }
es decir:
B = { rojo, amarillo, azul }.
Consideremos un conjunto cualquiera A. Seleccionando
elementos de A, podemos asociar al conjunto A un nuevo
conjunto B al que llamaremos subconjunto de A; y escribimos
en forma simbólica:
B⊂A
El símbolo ⊂ se lee: «contenido en», y significa que todos los
elementos de B pertenecen a A.Una expresión equivalente a B ⊂ A es A ⊃ B.
El símbolo ⊃ se lee «contiene a».
El símbolo ⊄ significa «no contenido en».
Ejemplo:
A = {a, b, c, d, e, f}
Algunos subconjuntos de A son :
B1 = {a}
B2 = {c, f}
1

Nota: La barra vertical usada en la notación anterior:(|) significa «tales
que». El conjunto A se lee entonces: el conjunto de los x tales que ...

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B3 = {a,b, c, d}, etc.
La formación de subconjuntos de un conjunto dado, se puede
hacer valuando una proposición en el conjunto en cuestión y
formando un conjunto con aquellos elementos que hagan la
proposición verdadera.
Ejemplo:
A = {verde, rojo, violeta, amarillo, azul, café }
P(x) = x es color primario.
Valuando P(x) en A tenemos:
Verde es color primario
FALSO
Rojo es color primarioVERDADERO
Violeta es color primario
FALSO
Amarillo es color primario
VERDADERO
Azul es color primario
VERDADERO
Café es color primario
FALSO
De acuerdo con lo anterior, el conjunto B formado por los
elementos «x» del conjunto A que hacen P(x) verdadera es:
B = {rojo, amarillo, azul}
y escribimos B ⊂ A, es decir B es un subconjunto de A.
Una definición más precisa de subconjunto es la...