Algebra




Actividad de aprendizaje 2. Vectores en Rn.

Objetivo:

Reforzar las habilidades y destrezas adquiridas, realizando ejercicios apropiados para fortalecer los conceptos estudiados durante el curso.
Instrucciones:
Realiza los ejercicios que se enuncian en el archivo de apoyo #2. Espacios vectoriales y espacios con producto interno.

Desarrollo:

Vectores en Rn
1. Sean Hallar, enforma de coordenadas, el resultado de las siguientes operaciones:
a.
b.
c.
d.

Solución:

Sean u=(-1, 1,2) v= (2,0,3) y w=(-1,3,9)

a)





b)


6(-1, 1 ,2) + 2(2, 0, 3) - 2(-1, 3, 9) = (-6, 6, 12) + (4, 0, 6) = (-2, 6, 18) - (2, -6, -18) = (0, 0, 0)
c)




= (1, -3, -9)

d)








2. Hallar las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las siguientesrectas:
a. La recta paralela a (2,-1,0), que pasa por P(1,-1,3)
b. Las rectas que pasan por P(1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial p=(1,2,0)+t(2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto P0(1,2,0)
Solución:

a)
La recta paralela a (2,-1,0), que pasa por P (1,-1,3)
La recta que pasa por el punto con vector de dirección viene dada por:



Que es laecuación paramétrica

En la distancia se resta el punto final menos el inicial cuando nos dan los 2 puntos

Y la ecuación vectorial es:


Por lo que:

P (1,-1,3) V (2,-1,0)
En base a la anterior obtenemos la ecuación vectorial:
( x, y, z) = (1, -1, 3) + t (2, -1, 0)

Las ecuaciones paramétricas de L son:





b)


Las rectas que pasan por P(1,0,1) y cortan a la recta de ecuaciónvectorial p=(1,2,0)+t(2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto P0(1,2,0)
De la ecuación vectorial:



Obtenemos:




Como los coeficientes de t proporcionan el vector dirección d= (2,-1,2)
Para el punto p (1, 0, 1) las ecuaciones quedan

)





Los coeficientes de t proporcionan el vector dirección d= (2,-1,2)
Para el punto p1 (4, 5, 3) lasecuaciones quedan de la siguiente forma:

)






3. Hallar el punto de intersección (si existe) del siguiente par de rectas.


Solución:

Un punto que pertenezca a la primera recta, tendrá como vector posición, para algún valor de t. De la misma manera un punto que pertenezca a la segunda recta tendrá el vector de posición para algún valor de t. Si el punto pertenece a ambas rectas,entonces deben existir valores de t y s que satisfagan simultáneamente el siguiente sistema de ecuaciones lineal:

Punto de intersección:



Que es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones:



Ahora debemos obtener la matriz aumentada del sistema obtenido:



Se tendrá que resolver la matriz escalonada en su forma reducida quedando:



Esto significa que la solución es única yque los valores son:



Sustituyendo los valores resultantes en cada una de las ecuaciones vectoriales de las rectas, tenemos:

Para la recta 1:


Para la recta 2:



Concluimos que el punto de intersección de las dos rectas es P (2, 3, 0)



Espacios vectoriales
4. Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por u, v y w cuando:
a.
5. Hallar el área del triángulodefinido por los siguientes vértices
b.
6. Sea V el conjunto de ternas ordenadas y defínase la suma de V como en . Para cada una de las siguientes definiciones de multiplicación por un escalar, decidir si V es un espacio vectorial.
c.
d.

Solución:

4a)

Utilizando el Teorema 1:



Calculamos la determinante del sistema

Encontrar una fila o columna con tantos ceros como seaposible, es esta ocasión ocuparemos la fórmula de expansión de Laplace.
Fila 2 tiene más ceros que los demás:


El determinante de la matriz esta dada por


Buscar todos los términos donde el coeficiente es 0.
Retiramos todos los términos donde el coeficiente es 0:



Ahora calculamos la determinante de la matriz y multiplicamos por el resultado por -1.





Calculamos la...